数学运算和初等函数

算术运算符

+x,一元加法运算符,全等操作 -x,一元减法运算符,将值变为其相反数 x+y,二元加法运算符,执行加法 x-y,二元减法运算符,执行减法 x*y,二元乘法运算符,执行乘法 x/y,除法运算符,执行除法 x÷y,整除,取x/y的整数部分 x\y,反向除法,等价于y/x x^y,幂操作符,x的y次幂 x%y,取余,等价于rem(x,y)

以及对Bool类型的否定 !x,否定,将true和false之间互换

位运算符

~x,按位取反 x&y,按位与 x|y,按位或 x^b,按位异或 x»>y,逻辑右移 x»y,算术右移 x«y,逻辑/算术左移

复合赋值操作符

二元运算和位运算的复合赋值操作符有下面几种: +=,-=,*=,/=,=,÷=,%=,^=,&=,|=,=,»>=,»=,«=

向量化dot运算符

Julia中,每个二元运算符都有一个dot运算符与之对应,例如.^表示向量被Julia逐个元素地执行^运算.这个语法来源于MATLAB中的语法方法. 实际上,a.^b被解析为dot调用(^).(a,b),这样会执行broadcast操作,这种操作方法能够结合数组和标量、相同大小的数组(元素之间的运算)、甚至是不同形状的数组(行、列向量结合生成矩阵).

数值比较

标准的比较操作对所有原始数值类型有定义: ==,!=,≠,<,<=,≤,>,>=,≥

整数的比较方式是标准的按位比较,浮点数的比较方式遵循IEEE 754标准.

• 有限数的大小顺序.
• +0等于但不大于-0.
• Inf等于自身,并且大于处理NaN以外的所有数.
• -Inf等于自身,并且小于除了NaN以外的所有数.
• NaN不等于、不小于并且不大于任何数值,包括自己.

Julia中额外的测试函数,例如下面的几种基本操作函数

• isequal(x,y),x与y是完全相同的
• isfinite(x),x是有限大的数字
• isinf(x),x是(正/负)无穷大
• isnan(x),x是NaN

isequal认为NaN之间是相等的

isequal(NaN,NaN)
isequal([1 NaN],[1 NaN])
isequal(NaN,NaN32)

有符号、无符号整数以及浮点数之间的混合类型比较是较为麻烦的,所以上述的函数主要是为了解决上述这个问题. 对于其他类型,isequal会默认调用==,所以如果给自定义的类型定义相等,那么就只需要为==增加一个方法,如果定义一个自己的相等函数,还需要可能定义一个对应的hash方法,用于确保isequal(x,y)隐含着hash(x)==hash(y).

链式比较

Julia语言中允许链式比较

1<2<=2<3<=3

链式比较在写数值代码的时候特别方便,它使用&&运算符比较标量,数组则使用&进行按元素进行比较.例如,0.<A<.1这样会得到一个boolean数组,如果A的元素都在0和1之间则数组元素就都是true.

注意链式比较表达式的执行顺序:

v(x) = (println(x);x)
println(v(1)<v(2)<=v(3))

与Julia函数一样,一些初等函数可以通过点语法f.(A)以”向量化”的方式作用于数组和其他集合上.例如,sin.(A)会计算A中每个元素sin值.

数值转换

Julia的三种数值转换方式

• T(x)和convert(T,x)都会将类型x转化为T类型.
• x%T是将整数x转换为整型T,与x模2^n的结果是一致的,其中n是T的位数.也就是说,二进制表示是被砍掉一部分的.
• 舍入函数接收一个T类型的可选参数,例如round(Int,n)是Int(round(x))的简写版本.

舍入函数包括有以下的几种

• round(x),x舍入到最接近的整数,返回值类型为typeof(x)
• round(T,x),x舍入到最接近的整数,返回值类型为T
• floor(x),x舍入到-Inf,返回值类型为typeof(x)
• floor(T,x),x舍入到-Inf,返回值类型为T
• ceil(x),向+Inf方向取整,返回值类型为typeof(x)
• ceil(T,x),向+Inf方向取整,返回值类型为T
• trunc(x),x向0取整,返回值类型为typeof(x)
• trunc(T,x),x向0取整,返回值类型为T

一些常见的运算函数

• div(x,y)或者是x÷y:截断除法,商向零近似处理
• fld(x,y):向下取整除法,商向-Inf近似
• cld(x,y):向上取整除法,商向+Inf近似
• rem(x,y):取余;满足x==div(x,y)*y+rem(x,y);符号与x一致
• mod(x,y):取模;满足x==fld(x,y)*y+mod(x,y);符号与y一致
• mod1(x,y):偏移1的mod;若y>0,则返回r(0,],若y<0,则[y,0)并且满足mod(r,y)==mod(x,y)
• mod2pi(x):以2pi为基取模;0<=mod2pi(x)<2pi
• divrem(x,y):返回(div(x,y),rem(x,y))
• fldmod(x,y):返回(fld(x,y),mod(x,y))
• gcd(x,y,...):x,y,...的最大公约数
• lcm(x,y,...):x,y,...的最小公倍数

除法函数

符号和绝对值函数 abs(x),x的模 abs2(x),x的模的平方 sign(x),表示x的符号,返回-1,0或+1 signbit(x),表示符号位是true或false copysign(x,y),返回一个数,其值等于x的模,符号与y一致 flipsign(x,y),返回一个数,其值等于x的模,符号与x*y一致

幂、对数与平方根

sqrt(x),√x,x的平方根 cbrt(x),³√x,x的立方根 hypot(x,y),当直角边的长度为x和y时候,直角三角形斜边的长度 exp(x),自然指数函数在x处的值 expm1(x),当x接近0时候的exp(x)-1的精确值 ldexp(x,n),x*2^n的高效算法 log(x),x的自然对数 log(b,x),以b为底x的对数 log2(x),以2为底x的对数 log10(x),以10为底x的对数 log1p(x),当x接近0时候的log(1+x)的精确值 exponent(x),x的二进制指数 significand(x),浮点数x的二进制有效数(也就是尾数)

三角函数和双曲函数

sin,cos,tan,cot,sec,csc, sinh,cosh,tanh,coth,sech,csch, asinh,acosh,atanh,acoth,asech,acsch, sinc,cosc

注意cospi(x)和sinpi(x)分别用来对sin(pi*x)和cos(pi*x)进行更精确的计算.

计算角度值而非弧度制 sind,cosd,tand,cotd,secd,cscd asind,acosd,atand,acotd,asecd,acscd

特殊函数

参考文档 SpecialFunction.jl,其中提供了许多其他的特殊数学函数.

复数和有理数

Julia语言中包含有预定义的复数和有理数类型,并且支持它们的各种标准数学运算和初等函数.由于也定义了复数与分数的类型转换与类型提升,故而对预定义类型的任意组合进行的操作都会标签得如语气的一致.

复数

在Julia语言中,全局常量im被绑定到复数i,表示-1的主平方根.这样就可以对复数进行各种标准的算术操作:

1+2im
(1+2im) * (2-3im)
(1+2im) / (2+5im)
(1+2im) + (2+5im)
(-3+2im) - (5-3im)
(-1+2im)^2
(-1+2im)^(8+5im)
3(3+9im)
7(2-5im)^2
3(2-5im)^-1.0

可以不同的实数类型与复数类型进行运算.注意

3/4im == 3/(4*im) == -(3/4*im)

复数的一些标准函数:real(实部),imag(虚部),conj(共轭复数),abs(复数的模),abs2(取平方后的绝对值),angle(以弧度为单位的相位角)

有理数

Julia中有一个用于表示整数精确比值的分数类型,分数通过//运算符构建.

17//8
23//9

使用函数numberator和denominator可以得到标准化之后的分子和分母.

numberator(17//8)
denominator(23//5)

同样对于分数值的比较操作也是可以的,很多操作符(比较运算符号、算术运算符号)对于分数值之间的比较也是可以的.

Julia可以接收构建无穷分数值,但是不接受试图构建一个NaN分数值,

# 接受以下的无穷值分数
1//0
# 不接受以下的非数值分数值
0//0

各种类型的值可以交互进行运算处理.