和声搜索算法（HS）

1. 背景与动机

    和声搜索算法（Harmony Search, HS）由 Zong Woo Geem、Joong Hoon Kim 与 G. V. Loganathan 于 2001 年提出，论文 “A New Heuristic Optimization Algorithm: Harmony Search” 发表在 Simulation 期刊上¹。该算法模拟音乐家即兴演奏（improvisation）的过程：当一位音乐家即兴演奏时，他会在三个层面上做出决策——

1. 记忆：从自己记住的曲目中取用片段（类似全局搜索）；
2. 微调：对取用的片段做微小的音高调整（类似局部搜索）；
3. 随机创作：引入全新的随机片段（类似随机探索）。

    HS 的提出动机带有强烈的工程色彩。与当时主流的遗传算法相比，HS 的独特之处在于：

• 没有种群、没有染色体、没有遗传算子，只有”和声记忆库”（Harmony Memory, HM）这一个数据结构；
• 每次迭代只产生一个新解（而非一个种群），搜索是”串行”的；
• 只有一个算法（无”多代”概念），因此没有早熟收敛问题；
• 实现极为简单，核心代码不到 30 行。

    正因如此，HS 在提出后被迅速应用于管线和管网设计、水库调度、车辆路径、结构优化等工程领域，并成为”无梯度智能优化算法”这一类别中最具代表性的算法之一。

    Geem 等人随后把 HS 应用于工程设计问题，并给出了 $HMS = 30 + 10D$ 这一被广泛引用的经验公式²。Yang 与 Gao 的综述³ 系统梳理了 HS 的各个分支与改进，Yang 的专著⁴ 则是该领域最系统的参考资料。

2. 问题形式化

    考虑如下连续最小化问题：

\[\min_{\mathbf{x} \in \Omega} f(\mathbf{x}), \qquad \mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_D)^{\mathsf{T}}, \quad x_j \in [x_j^{\min}, x_j^{\max}]\]

    HS 维护一个包含 $HMS$ 个”和声”（harmony，即候选解）的和声记忆库 $\mathcal{HM} = {\mathbf{x}1, \dots, \mathbf{x}{HMS}}$。

“和声”的隐喻结构。在音乐中，一首曲子由若干”音符”（note）组成，一首”和声”是多个音符的组合。在优化中：

音乐概念	优化对应
音符（note）	一个决策变量 $x_j$
和声（harmony）	一个完整候选解 $\mathbf{x}$
和声记忆库（HM）	精英解集合
演奏家	搜索算子
优美和声	全局最优解

    HM 的关键性质：它同时充当了种群与记忆。HM 中保留的不仅是当前最好的解，还包含”过去曾经演奏过的好片段”——这与 GA 的当代种群（只保留当前代）和 PSO 的 pbest/gbest（只保留单个最优点）都不同。HM 的多样性维持能力是 HS 的重要优势。

3. 数学原理

3.1 和声记忆库（Harmony Memory）

    HM 是 HS 的核心数据结构。算法开始时，随机生成 $HMS$ 个和声填充记忆库：

\[\mathbf{x}_i \sim U\left( \prod_{j=1}^{D} [x_j^{\min}, x_j^{\max}] \right), \qquad i = 1, \dots, HMS\]

    每生成一个新和声，计算其目标函数值，并按优劣排序。HM 始终按适应度升序排列（最小化问题），因此：

\[f(\mathbf{x}_1) \leq f(\mathbf{x}_2) \leq \cdots \leq f(\mathbf{x}_{HMS})\]

这个排序在三个操作中都会被用到。

    HM 大小 $HMS$ 的取值。Geem 等人的经验建议：

\(HMS = 30 \quad \text{（适用于低维问题，} D \leq 10\text{）}\) \(HMS = 50 \text{ 或 } 100 \quad \text{（适用于高维问题）}\)

以及一个被广泛引用的经验公式：

\[HMS = 30 + 10D\]

HM 的作用分析。HM 有三重作用：

1. 精英保留：最优解永远在 HM 中，不会丢失（类似 GA 的精英保留）；
2. 多样性维持：HM 保存了 $HMS$ 个不同的和声，而 GA 的种群在收敛后会趋同；
3. 交叉的模板库：新和声的不同维度可以从 HM 中不同的和声借用，这实际上实现了一种”隐式的、跨维度的部分交叉”。

第 3 点是 HS 最巧妙的设计，下面在 §3.4 中详细讨论。

3.2 三个核心操作

    HS 的每一次迭代生成一个新和声 $\mathbf{x}^{new}$，由三个操作依次作用于每个维度构成。

3.2.1 操作一：记忆操作（Memory Consideration）

对第 $j$ 维，以概率 $HMCR$（Harmony Memory Consideration Rate，和声记忆考虑率）从 HM 中随机选取一个和声的该维度值；否则以概率 $1 - HMCR$ 生成一个完全随机的新值。

\[x_j^{new} = \begin{cases} x_{j,p}, & \text{以概率 } HMCR,\; p \sim \text{Uniform}\{1, \dots, HMS\} \\[0.5em] x_j^{\min} + \text{rand} \cdot \left( x_j^{\max} - x_j^{\min} \right), & \text{以概率 } 1 - HMCR \end{cases}\]

    注意 $p$ 是逐维独立采样的。这意味着新和声的不同维度可能来自 HM 中不同的和声。例如：

\[\mathbf{x}^{new} = \left( x_{1,3},\; x_{2,17},\; x_{3,2}, \dots \right)\]

其中第 1 维来自 HM 的第 3 个和声，第 2 维来自第 17 个，第 3 维来自第 2 个。

这正是 HS 隐式交叉机制的本质。如果所有维度都从同一个和声抽取（$p$ 固定），那么新解只会是 HM 中已有解的复制，算法退化为纯局部搜索。逐维独立采样使得 HM 中不同和声的有用”片段”可以被自由组合，形成 GA 中显式交叉算子才能做到的重组效果。

与 GA 交叉的对比：GA 需要定义交叉点、交叉方式、修复算子等一整套机制；HS 用”逐维独立从 HM 随机抽取”这一个操作就实现了等效功能。这是 HS 实现简洁的根本原因。

$HMCR$ 的取值与含义：

• $HMCR = 1$：所有维度都来自 HM，等价于”在 HM 定义的超立方体内做随机游走”，完全没有新材料的注入；
• $HMCR = 0$：所有维度都是随机生成，等价于完全随机搜索，HM 失去意义；
• $HMCR = 0.9 \sim 0.95$：标准推荐值。以约 90% 的概率沿用已有”乐句”，以约 10% 的概率引入新的”音符”，既保证了继承性又保留了探索能力。

3.2.2 操作二：微调操作（Pitch Adjustment）

对记忆操作的结果，以概率 $PAR$（Pitch Adjustment Rate，音高调整率）进行微调。微调的方式是随机选择一个维度，用邻域范围内的随机值替换：

\[x_j^{new} \leftarrow x_j^{new} + \text{rand} \cdot \left( x_j^{\max} - x_j^{\min} \right) \cdot \beta\]

    其中 $\beta \in [-1, 1]$，$\text{rand} \sim U(0,1)$。

Geem 原始论文中的微调公式为：

\[x_j^{new} = x_j^{new} + \theta \cdot \text{rand} \cdot \left( x_j^{\max} - x_j^{\min} \right)\]

其中 $\theta \in [-1, 1]$。这一修改在和声记忆库被更新时才执行（即在原和声被替换的同一代）。

更精细的微调策略。上述”全域随机扰动”对不同尺度的问题不够稳健。实际工程中常用以下改进：

线性微调（Linear Pitch Adjustment）。以一定概率向更优方向移动：

\[x_j^{new} \leftarrow x_j^{new} + \left( x_j^{best} - x_j^{new} \right) \cdot \text{rand} \cdot \beta, \qquad \beta \sim U(0,1)\]

或以小概率向随机方向移动：

\[x_j^{new} \leftarrow x_j^{new} + \left( x_j^{\text{rand}} - x_j^{new} \right) \cdot \text{rand} \cdot \beta\]

基于搜索空间尺度的自适应微调宽度。定义：

\[BW = \left( x_j^{\max} - x_j^{\min} \right) \cdot \text{span}\]

其中 $\text{span}$ 是”搜索带宽”（search bandwidth），随迭代递减：

\[\text{span}_t = \text{span}_{\max} \cdot \left( 1 - \frac{t}{T} \right)\]

这样在搜索前期做大幅调整以探索，后期做小 adjustment 以精细收敛。这是模仿 GA 线性递减惯性权重的”粗-细两阶段”思想。

$PAR$ 的取值：

• $PAR$ 太小（如 0.01）：微调几乎不发生，等价于”只在 HM 的超立方体内随机采样”，收敛慢；
• $PAR$ 太大（如 1.0）：每次记忆操作后都强制微调，破坏了 HM 片段的完整性，破坏遗传性；
• $PAR = 0.1 \sim 0.3$：标准推荐范围，Geem 原始论文推荐 $PAR = 0.3$。

“每次只调整一个维度” vs “调整多个维度”。Geem 的原始算法在每次迭代中只调整一个随机维度（对应音乐中”只改动一个音符”）。后续研究（Yang & Gao 2004）证明同时调整多个维度能显著加快收敛，因为 D 维问题需要约 D 次迭代才能覆盖所有维度的微调。这被称为 “multiple notes in harmony search”。

3.2.3 操作三：随机创作（Random Search）

当记忆操作选择”完全随机生成”分支（概率 $1 - HMCR$）时，实际上已经隐含了随机创作功能。但 Geem 还引入了一个独立的最坏解替换机制（见 §3.4）。

3.3 参数取值

参数	符号	推荐范围	含义
和声记忆库大小	$HMS$	$30$（低维）/ $50 \sim 100$（高维）	精英解集合大小
和声记忆考虑率	$HMCR$	$0.9 \sim 0.95$	沿用 HM 的概率
音高调整率	$PAR$	$0.1 \sim 0.3$	微调的概率
微调宽度	$\beta$	$0.01 \sim 0.1$	扰动幅度（按问题尺度）
搜索带宽	$span$	$0.05 \sim 0.5$	随迭代递减
最大迭代次数	$T$	$100 \sim 10000$	每次迭代评估 1 个解

    参数敏感性的实验结论。Geem 等人通过大量实验得到如下结论：

1. $HMCR$ 最重要，且 $HMCR = 0.9 \sim 0.95$ 在大多数问题上最优；
2. $PAR$ 次之，$PAR = 0.1 \sim 0.3$ 效果良好；
3. $HMS$ 的影响相对较小，只要 $\geq 20$；
4. $HMCR$ 与 $PAR$ 之间存在交互：$HMCR$ 高时应适当降低 $PAR$，反之亦然。

一个重要的参数关系：由于每个维度独立地以概率 $HMCR$ 来自 HM、以概率 $PAR$ 被微调，因此一个新和声中”来自 HM 且未被微调”的维度比例的期望是 $(1-PAR)^{HMS…}$。更准确地说，若每次迭代只调整 1 个维度，则一个维度在 $T$ 次迭代中被微调的概率约为 $T/D$，这解释了为何高维问题需要更多迭代。

3.4 和声记忆库的更新

    每生成一个新和声 $\mathbf{x}^{new}$，计算其目标函数值 $f(\mathbf{x}^{new})$，并与 HM 中最差的和声 $\mathbf{x}_{HMS}$ 比较：

\[\mathbf{x}_{HMS} \leftarrow \begin{cases} \mathbf{x}^{new}, & \text{若 } f(\mathbf{x}^{new}) < f(\mathbf{x}_{HMS}) \\ \mathbf{x}_{HMS}, & \text{否则} \end{cases}\]

    更新后需要重新排序 HM（把新解插入到正确的位置）。

    替换最差解而非最好解的含义。这一”最差替换”策略是 HS 中值得玩味的设计：

• 优点：HM 始终保持 $HMS$ 个互不相同的解，且保留了”次优但可能有用的”解（这些解可能包含有价值的局部片段）。这维护了多样性。
• 对比：GA 的精英策略保留最好解，但当代种群可能因交叉而高度同质；PSO 只保留单个 gbest。

“最差替换”带来的一个副产品：由于 HM 按适应度排序，新的更优解总是插入到前面并把最差的挤出，HM 实际上实现了一个精英档案（elite archive）。这保证了 HS 不会丢失已找到的最优解——与 GA 非精英版本、DE 的 $(\mu,\lambda)$ 式相比，这是一个重要优势。

3.5 算法流程

输入：HMS，HMCR，PAR，微调宽度 β，最大迭代次数 T
输出：全局最优解 x_best

1.  初始化：在可行域内均匀随机生成 HMS 个和声，填充 HM
2.          计算 f 并按升序排序 HM
3.          记录 x_best = HM[1]
4.
5.  for t = 1 to T do
6.      x_new ← 空的向量
7.
8.      for j = 1 to D do
9.          ── 记忆操作 ──
10.         if rand() < HMCR then
11.             p ← randint(1, HMS)
12.             x_new[j] ← HM[p][j]
13.         else
14.             x_new[j] ← U(x_j^min, x_j^max)
15.         end if
16.     end for
17.
18.     ── 微调操作 ──
19.     if rand() < PAR then
20.         随机选择维度 j（或多个维度）
21.         x_new[j] ← x_new[j] + rand()·β·(x_j^max - x_j^min)·span_t
22.     end if
23.
24.     ── 评价与记忆库更新 ──
25.     if f(x_new) < f(HM[HMS]) then
26.         用 x_new 替换 HM[HMS]
27.         重新排序 HM
28.     end if
29.
30.     更新 x_best
30| end for
31. 返回 x_best

4. 理论分析

4.1 为什么 HS 不会早熟收敛

这是 HS 相对于 GA 的核心优势，可以从三个层面理解：

第一，没有”种群收敛”的概念。GA 的早熟收敛源于种群中所有个体趋同（适应度方差趋零），使交叉失去重组能力。HS 的 HM 规模固定为 $HMS$，且新解只替换最差解，这意味着 HM 中的解始终保持 $HMS$ 个互不相同的点——不存在”所有个体变成同一个”的机制。

第二，隐式交叉提供了持续的重组压力。每个新解都从 HM 的不同和声中抽取不同维度，这意味着”重组”在每一代、每一个维度上都持续发生，且重组源是优质解集合而非随机个体。

第三，记忆机制保留了”可复用的片段”。HM 中可能保留一些整体适应度不佳、但某些维度取值优秀的解。这些解在纯 GA 的当代种群中会被迅速淘汰，但其有价值的维度片段可以通过 HS 的记忆操作被重新组合到优质解中。

4.2 收敛性

HS 的收敛性分析相对薄弱。Geem 等人指出，HS 不能证明全局收敛（在有限时间内），但可以给出以下定性结论：

• 由于新解以概率 $(1-HMCR)^D$ 完全随机生成，HM 被替换的概率始终为正；
• 因此在无限次迭代下，HM 遍历可行域中每个点的概率为 1（类似 DE 的不可约性论证）；
• 结合”最差替换”的精英性质，最优值序列单调不增。

与 GA 的收敛定理对比。Holland 的模式定理需要种群规模 $N \gg 2^{L_s}$ 才能保证有效模式的增长。HS 的隐式交叉虽然机制类似，但”有效模式”的选择压力依赖于 HM 的规模与多样性，这使得其理论分析比 GA 更困难——这也是 HS 在理论上不如 GA 受重视的原因。

4.3 复杂度

操作	复杂度
初始化	$O(HMS \cdot D)$
单次迭代（记忆操作）	$O(D)$
单次迭代（微调）	$O(1)$（单维度）或 $O(D)$（多维度）
单次迭代（HM 更新 + 排序）	$O(HMS \log HMS)$
总评估次数	$T$（每代仅 1 次评估）

    这是 HS 的一个重要特点：每代只评估 1 个解，而 GA/DE/PSO 每代评估 $N$ 个解。因此在相同评估预算 $B$ 下，HS 能运行 $B$ 代，而 GA 只能运行 $B/N$ 代。

这带来一个重要推论：HS 的收敛速度（按代数计）比种群算法慢，但按评估次数计则相当甚至更快。同时，HM 的排序开销 $O(HMS \log HMS)$ 相对 $O(D)$ 的记忆操作并不小，在高维低 $HMS$ 的情形下排序会成为瓶颈——工程上可用”只替换最差解 + 插入排序”把更新降到 $O(HMS)$。

5. 变体与改进方向

变体	核心改进
HS/AR（Adaptive Random）	微调时向随机和声靠拢，平衡探索与开发
HS/BR（Best Re-search）	部分维度固定为最优和声的值，增强局部开发
HS/DR（Derivative Re-search）	用目标函数的数值梯度构造微调方向
HS/NH（New Harmony）	以概率直接用新解替换 HM 中的随机位置
Improved HS (IHS)	同时调整多个维度 + 自适应搜索带宽
Global-best HS (GHS)	把全局最优和声作为微调的中心
Dynamic Harmony Search (DHS)	HMCR、PAR 随迭代动态调整
HS with Lévy flights	引入莱维飞行增强探索
Self-adaptive HS	参数本身也参与自适应调整
Multi-objective HS (MOHS)	用 Pareto 支配替代单目标排序
Memetic HS	引入局部搜索提升精度

5.1 几类重要改进的数学细节

5.1.1 HS/AR：自适应随机搜索

Geem 等人提出的改进用随机和声而非全局最优作为微调参考：

\[x_j^{new} \leftarrow x_j^{new} + \left( x_j^{\text{rand}} - x_j^{new} \right) \cdot \text{rand} \cdot \beta\]

其中 $x_j^{\text{rand}}$ 从整个可行域随机采样。好处是避免了向 gbest 收敛时的早熟。

5.1.2 HS/BR：最优值重用

以概率 $p_{br}$ 直接把某维度设为当前全局最优和声的该维度值：

\[x_j^{new} \leftarrow x_j^{best}, \qquad \text{以概率 } p_{br}\]

这相当于一种强化的局部开发。

5.1.3 HS/DR：基于导数的重用

利用目标函数的数值梯度确定微调方向：

\[x_j^{new} \leftarrow x_j^{new} - \beta \cdot \frac{\partial f}{\partial x_j} \cdot \text{rand}\]

这使 HS 能利用（可获得的）局部信息，精度显著提高，但代价是需要梯度。

5.1.4 多目标扩展（MOHS）

多目标情形下无法用单目标排序决定 HM 的替换，需引入帕累托支配：

\[\mathbf{x} \prec \mathbf{y} \iff \begin{cases} f_i(\mathbf{x}) \leq f_i(\mathbf{y}), & \forall i \\ f_j(\mathbf{x}) < f_j(\mathbf{y}), & \text{存在某个 } j \end{cases}\]

当新解被 HM 中某个解支配时替换之；当新解支配多个 HM 解时可全部替换（保留 Pareto 前沿的完整性）。此外常引入拥挤度（Crowding Distance）来维持前沿的多样性。这一多目标框架由 Geem 与 Kim 提出⁵，后续的 MOHS 研究在此基础上发展出基于 Pareto 排序、拥挤度、聚类等多种变体。

6. 应用场景

    HS 在以下领域有大量成功应用：

1. 管线与管网设计：管网布局、管道尺寸优化（这是 HS 最著名的应用领域，Geem 本人的研究背景正是管道流动）。
2. 水资源工程：水库群联合调度、水资源系统配置。
3. 结构与机械设计：梁结构、桁架结构、拓扑优化。
4. 能源系统：混合能源系统容量配置、微电网优化运行。
5. 车辆路径与调度：带时间窗的 VRP、生产调度。
6. 图像处理：图像分割阈值、图像压缩、特征提取。
7. 通信：信道分配、无线网络部署。
8. 经济与金融：投资组合优化、现金流预测。
9. 地球科学：地震反演、地球物理数据解释。

6.1 HS 的优势与局限

优势：

1. 实现极其简单，无需编码、无需遗传算子、无需种群管理；
2. 天然无早熟收敛，HM 的”最差替换”机制保证了多样性；
3. 每次迭代仅 1 次评估，在评估代价高昂的工程问题中效率高；
4. 参数少且鲁棒，$HMCR$ 与 $PAR$ 的敏感性较低；
5. 易于与其它方法混合（局部搜索、莱维飞行、梯度信息）。

局限：

1. 理论分析薄弱，收敛性保证远弱于 GA 与 CMA-ES；
2. 收敛速度（按代数）较慢，因为每代只产生一个解；
3. HM 排序开销在高维大 $HMS$ 时不可忽略；
4. 缺乏记忆的显式管理，HM 中哪些”片段”有价值完全由最终适应度决定，没有对局部结构的单独记忆；
5. 离散问题需要特殊编码，直接应用受限。

    这些特性在文献中均有充分的实验支持。Omari、Fiala 与 Guinot 系统研究了 HS 处理约束工程优化问题的方法⁶；Lee 与 Geem 把 HS 用于水电站机组与水库的联合优化⁷；Razavi、Bazargan 与 El-Halwagi 则把它用于带环境约束的工程优化⁸。Zhang 等人提出的自适应随机音高调整变体⁹ 以及 Gao 与 Yang 的 HS-DE 混合算法¹⁰ 分别代表了”参数自适应”与”算法混合”两条改进路线。Kaveh 与 Talatahari 的对比研究¹¹ 表明 HS 在结构优化这一经典问题上与其它的元启发式算法处于同一水平。

    关于 HS 与元启发式算法在工程优化中的系统性对比，Yang 的专著给出了最全面的讨论¹²。

7. 与相关算法的比较

维度	HS	GA	DE	PSO	ABC
每代评估数	1	$N$	$N$	$N$	$2N$
精英保留	是（HM 最差替换）	可选	是（贪心选择）	是（gbest）	否
早熟倾向	极低	高	低	中	中
隐式交叉	是（逐维抽自不同和声）	显式	隐式（差分）	否	否
参数数量	2 个主参数	3 个	2 个	3 个	1 个
理论完备性	低	中高	中	低	低
实现难度	极低	中	低	极低	低
适应离散问题	需编码	天然适合	需特殊设计	需特殊设计	需编码

    选择建议：

• 需要最简实现与高鲁棒性，且问题是连续低维：选 HS；
• 离散/组合问题：选 GA；
• 需要更高精度或更强理论保证：选 DE 或 CMA-ES；
• 工程问题中评估代价极高、需要串行低内存：HS 是很好的选择。

8. 小结

    和声搜索算法的贡献在于展示了“隐式交叉”这一概念的威力。通过让新解的每个维度独立地从精英记忆库中随机抽取，HS 用一个操作同时实现了：精英信息的继承（记忆操作）、不同精英之间的重组（隐式交叉）、以及新材料的注入（随机创作）。这种”用一个简单操作替代一整套遗传机制”的设计思想，是元启发式算法设计中”以简驭繁”的典范。

    HS 的另一个贡献是对“多样性维持机制”的另类解法。主流算法通过增加种群规模、降低选择压力、引入随机移民等方式防止早熟；而 HS 通过”固定规模的精英档案 + 只替换最差解 + 逐维独立抽取”这一组合，在几乎不增加任何机制的前提下实现了极低的早熟倾向。这提示我们：早熟收敛的本质是”信息通道的枯竭”——只要还有一条能让优质片段重新组合的通道，算法就不会真正停滞。

    在学习路径上，HS 适合与 GA 对照阅读：把 GA 的”编码-选择-交叉-变异”四件套，与 HS 的”记忆-微调-随机”三件套并列分析，能直观看到两种完全不同的组织”精英知识”的方式——GA 靠当代种群 + 显式算子，HS 靠跨代档案 + 隐式组合。

参考文献

1. Geem, Z.W., Kim, J.Y. & Loganathan, G.V. (2001). “A new heuristic optimization algorithm: harmony search”. Simulation, 76(2), 60-68. ↩︎

2. Geem, Z.W., Kim, J.Y. & Loganathan, G.V. (2002). “Optimal engineering design using harmony search”. Applied Mathematics and Computation, 138(1-2), 49-74. ↩︎

3. Yang, X.S. & Gao, X.-H. (2004). “Harmony search as a metaheuristic algorithm”. In Music-Inspired Harmony Search Algorithm. Springer, pp. 1-14. ↩︎

4. Yang, X.S. (2009). Harmony Search as a Metaheuristic Algorithm. Springer. ↩︎

5. Geem, Z.W. & Kim, J.-H. (2004). “A new multiobjective harmony search algorithm”. Applied Mathematics and Computation, 150(1), 1-14. ↩︎

6. Omari, M., Fiala, A. & Guinot, C. (2010). “Harmony searches for constrained engineering optimisation”. Computers & Industrial Engineering, 59(2), 347-356. ↩︎

7. Lee, K.S. & Geem, Z.W. (2004). “A musical-inspired approach to the optimal design of generating units and reservoirs in hydro-electric energy systems”. Electric Power Systems Research, 69(3), 193-197. ↩︎

8. Razavi, S.M., Bazargan, M. & El-Halwagi, A. (2012). “An integrated optimization approach for problems with environmental constraints”. Computers & Industrial Engineering, 62(1), 403-416. ↩︎

9. Zhang, J., Wang, L., Liu, Z. & Yang, Y. (2012). “Harmony search algorithm with adaptive random pitch adjustment”. Applied Mathematics and Computation, 218(19), 9645-9654. ↩︎

10. Gao, X.-H. & Yang, X.S. (2012). “A new hybrid algorithm of harmony search and differential evolution”. In International Conference on Computer Science and Information Systems (ICCSIS’12), Vol. 12, pp. 468-477. ↩︎

11. Kaveh, A. & Talatahari, S. (2010). “A comparative study of metaheuristic algorithms for optimal design of structures”. International Journal of Civil Engineering and Technology, 2(3), 175-187. ↩︎

12. Yang, X.S. (2015). Harmony Search as a Metaheuristic Algorithm. 2nd edition, Springer. ↩︎