萤火虫算法（FA）

1. 背景与动机

    萤火虫算法（Firefly Algorithm, FA）由 Xin-She Yang 于 2008 年首次提出，论文 “Firefly algorithms for multimodal optimization” 发表在 SAGA 2009 会议上¹，并在同年出版的专著 Nature-Inspired Metaheuristic Algorithms 中给出了系统阐述²。

    FA 的灵感来自萤火虫的生物发光（bioluminescence）现象：萤火虫通过腹部的发光器官发出冷光，这种光有两个关键特性——

1. 亮度（Brightness）与个体携带的食物量正相关，因此亮度可作为”适应度”的天然类比；
2. 光的强度随距离平方衰减，这为”相互吸引”提供了一个明确的物理衰减律。

    生物发光是自然界中极其高效的远距离通信机制——在漆黑的夜间，数百米外的同种个体仍能相互识别。这种”通过光强传递信息”的机制，正是 FA 中”按亮度比例吸引”的数学原型。

    FA 的提出背景值得注意：当时用于多峰优化的主流方法（如 SCPS、ABC）各有不足，而 Yang 注意到萤火虫群落的特定空间分布规律——同种萤火虫倾向于聚集成”若干簇”，每簇围绕一个最亮的个体。这个观察直接启发了 FA 的”多簇同时优化”能力。

2. 问题形式化与三条基本规则

    考虑连续空间的最小化问题：

\[\min_{\mathbf{x} \in \Omega} f(\mathbf{x}), \qquad \Omega = \prod_{j=1}^{D} \left[ x_j^{\min}, x_j^{\max} \right]\]

    FA 维护 $N$ 个萤火虫 ${ \mathbf{x}i }{i=1}^N$，每个个体有一个亮度 $I_i$ 与一个位置 $\mathbf{x}_i$。

    Yang 在原始论文中明确列出了算法的三条基本规则²：

规则 1（无性别区分）：所有萤火虫都是同性的、平等的——任何个体都可以被任何其它个体吸引。生物上雌雄萤火虫的发光特征几乎相同。

规则 2（吸引与亮度相关）：亮度更强的萤火虫对更弱的萤火虫有更强的吸引力；吸引力与亮度成正比，且随两者距离的增大而衰减。

规则 3（随机移动）：若一只萤火虫周围没有任何比它更亮的个体（即它是全局最亮之一），则它执行随机运动——这是在黑暗中寻找更亮同伴的行为。

    这三条规则构成了一个完整的优化框架：规则 1 保证了全局可达性（没有”被吸引方向”的限制），规则 2 定义了吸引力的强度与衰减，规则 3 保证了全局探索（不会被最优解困住）。

3. 数学原理

3.1 亮度的定义

    亮度的定义是 FA 中最关键的一步，因为后续的吸引力与移动都依赖它。

3.1.1 基本定义

亮度（也称”光强”）定义为目标函数的单调递减变换：

\[I(\mathbf{x}) = \frac{1}{1 + f(\mathbf{x})}\]

其中 $f(\mathbf{x}) \geq 0$。当 $f(\mathbf{x}) = 0$（最优解）时 $I = 1$；$f$ 越大，$I$ 越接近 0。

单调性保证：$I$ 与 $f$ 严格单调递减，因此”更亮”严格等价于”更优”，吸引规则与优化目标完全一致。

3.1.2 亮度的归一化处理

Yang 指出，当 $f$ 的量级很大或很小时，直接用 $I = 1/(1+f)$ 会导致所有 $I$ 趋近于 0 或 1，使算法无法区分个体。推荐的归一化亮度为：

\[I(\mathbf{x}) = \frac{1}{1 + \dfrac{f(\mathbf{x}) - f_{\min}}{f_{\max} - f_{\min}}}\]

其中 $f_{\min}$ 与 $f_{\max}$ 是当前种群中目标函数的极值。

归一化后的性质：

• 最差个体：$f = f_{\max}$，$I = 1$；
• 最优个体：$f = f_{\min}$，$I = 1/2$；
• 所有个体的亮度落在 $[1/2, 1]$ 内。

这个归一化有一个重要且精妙的效果：亮度不再直接对应”有多好”，而是对应”在种群中排第几”。这使得亮度的动态范围（$\Delta I = 1/2$）保持恒定，与目标函数的量级无关。

为什么这个归一化是合理的？ 因为吸引力的相对大小才是决定行为的关键。一个个体比另一个亮多少（相对量）比它们绝对亮多少更重要。归一化把”绝对亮度”转换为”相对亮度”，这与选择算子中”按适应度比例分配资源”的思想一脉相承。

3.1.3 多目标情形

多目标时亮度需向量化。Yang 提出的做法是：

\[I(\mathbf{x}) = \sum_{m=1}^{M} I_m(\mathbf{x}), \qquad I_m(\mathbf{x}) = \frac{1}{1 + f_m(\mathbf{x})}\]

即各目标亮度之和。这在概念上简单，但会导致”权重隐含相等”的问题。后续改进常结合帕累托支配来定义”支配关系下的亮度”。

3.2 吸引力的定义

    吸引力（Attractiveness）记为 $\beta$，定义为：

\[\beta(r) = \frac{\beta_0}{1 + \gamma r^{\theta}}\]

这是 FA 的标准形式（Yang 2009 之后采用）³：

• $\beta_0$：最大吸引力，对应个体在自身位置时的吸引力强度；
• $\gamma$：光吸收系数（light absorption coefficient），控制衰减速度；
• $\theta$：距离衰减指数，通常是 1（对应物理上的平方反比律），也可以取 2。

另一种常见形式是初始论文中的指数衰减形式：

\[\beta(r) = \beta_0 e^{-\gamma r^2}\]

其中 $\beta_0 = 1$，$\gamma \in [0.1, 10]$。

3.2.2 两种形式的比较

性质	$\beta_0 e^{-\gamma r^2}$	$\dfrac{\beta_0}{1+\gamma r^\theta}$
$r = 0$ 时的值	$\beta_0$	$\beta_0$
衰减形状	高斯型，衰减极快	幂律型，衰减平缓
远距离吸引力	几乎为 0	保留一定强度
$\gamma$ 的敏感度	高	中
适用场景	局部精细搜索	需要长程吸引

选择建议：

• $\gamma$ 太小 → 吸引力衰减太慢，所有个体被最强者吸引，多样性丧失、易早熟；
• $\gamma$ 太大 → 吸引力几乎只在极近距离有效，算法退化为独立的随机搜索、无法形成簇。

经验取值：$\beta_0 = 1$，$\gamma \in [0.1, 10]$（对应指数形式）。在多峰问题上，$\gamma$ 偏小（如 0.2 ~ 1.0）有利于形成多个簇。

3.2.3 $\beta_0$ 的意义

$\beta_0$ 是”零距离”时的吸引力，直接决定移动步长的上限。因为移动公式中 $\beta(r) \cdot (\mathbf{x}_j - \mathbf{x}_i)$ 的最大幅度是 $\beta_0 \cdot |\mathbf{x}_j - \mathbf{x}_i|$，所以 $\beta_0$ 控制了个体”一次最多能移动多远”。

标准取 $\beta_0 = 1$。这意味着个体可以一步跳到任何其它个体的位置——吸引力足够强时，位置更新几乎是”直接跳到更亮的同伴处”。

3.3 位置更新（移动）

    位置更新公式为：

\[\mathbf{x}_i(t+1) = \mathbf{x}_i(t) + \beta(r_{ij}) \cdot \left( \mathbf{x}_j(t) - \mathbf{x}_i(t) \right) + \alpha \, \boldsymbol{\epsilon}_i(t)\]

    其中：

• $\mathbf{x}_j(t)$ 是一个比 $\mathbf{x}_i$ 更亮的个体；
• $r_{ij} = |\mathbf{x}_i(t) - \mathbf{x}_j(t)|$ 是两者距离；
• $\beta(r_{ij})$ 是按 §3.2 计算的吸引力；
• $\alpha$ 是步长系数，控制随机扰动的幅度；
• $\boldsymbol{\epsilon}_i(t)$ 是逐维的随机数（通常 $\sim U(-1/2, 1/2)$）。

3.3.1 三个组成部分的解读

1. 吸引项 $\beta(r)(\mathbf{x}_j - \mathbf{x}_i)$：朝更亮个体移动。$\beta \in (0, 1)$ 时是个收缩插值——移动到自身与 $\mathbf{x}_j$ 之间的某个位置（比例 $1-\beta$ 处）。$\beta$ 越大越接近 $\mathbf{x}_j$。

2. 随机项 $\alpha \boldsymbol{\epsilon}_i$：模拟萤火虫在飞行中的随机漂移，同时保证算法不会停在局部最优。

3. 没有”速度”：与 PSO 不同，FA 的位置更新是直接的位置赋值而非速度积分。这使 FA 的实现更简单，但也意味着它没有 PSO 那样的”动量”记忆。

3.3.2 全局最优个体处理

Yang 特别指出：全局最亮的个体（gbest）不应使用随机移动——它已经是最好的，没有比它更亮的了。规则 3 说的”随机移动”针对的是没有更亮同伴的局部最优，它们需要在全局尺度上漫游以寻找其它峰。

实际实现中常见的简化：对所有个体统一使用上述公式（包括最亮的），靠随机项提供扰动。这在实践中效果良好。

3.3.3 移动步长的自适应

原始 FA 中 $\alpha$ 是固定值（通常 0.01 ~ 0.2）。这导致算法在后期仍在做无谓的随机漂移，精度受限。

自适应步长的常见方案：

1. 按适应度改善线性递减：

   \[\alpha(t) = \alpha_0 \left( 1 - \frac{t}{T} \right)\]

2. 基于适应度方差的调整：

   \[\alpha(t) = \alpha_0 \cdot \frac{\sigma_f(t)}{\sigma_{f,0}}\]

   其中 $\sigma_f$ 是种群适应度的标准差。当种群收敛（$\sigma_f \to 0$）时，步长自动缩小。

3. 基于密度的调整（最常用，Yang 2012）：

   \[\alpha(t) = \alpha_0 \cdot \frac{|S_i(t)|}{N}\]

   其中 $S_i(t)$ 是在半径 $R$ 内找到的、位置与 $\mathbf{x}_i$ 距离小于 $R$ 的个体集合。这使孤立个体的步长大（便于探索新峰），密集区域的步长小（便于精细搜索）——这正是萤火虫在自然界中的行为（成簇的萤火虫不需要大幅移动）。

3.3.4 “最亮同伴”的选择策略

FA 需要为每个个体 $i$ 选择一个更亮的同伴 $j$。几种策略：

策略	说明	复杂度
全局最优优先	若 $i$ 不是 gbest，用 gbest 作同伴	$O(N)$
随机更亮个体	在所有更亮个体中随机选	$O(N^2)$
最近的最亮个体	选最近的更亮个体	$O(N^2)$
按亮度加权采样	亮度越高被选概率越大	$O(N)$

标准的双层实现（Yang 的推荐）：

for 每个个体 i:
    if I_i < I_max (即存在更亮的个体):
        从所有比 i 亮的个体中随机选 j
        按移动公式更新 x_i
    else:
        随机移动：x_i ← x_i + α·ε

3.3.5 距离计算

\[r_{ij} = \|\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j\| = \sqrt{\sum_{k=1}^{D} (x_{i,k} - x_{j,k})^2}\]

    在 $D$ 维空间中计算全部 $N(N-1)/2$ 个距离对的复杂度为 $O(N^2 D)$。当 $N$ 很大时这是主要开销，可通过周期性更新距离矩阵或只用最近邻来优化。

3.4 算法流程

输入：萤火虫数量 N，β_0，γ，θ，步长 α，最大迭代次数 MaxIter
输出：全局最优解 x_best

1.  初始化：在可行域内均匀随机生成 N 个萤火虫
2.          计算 f(x_i) 并归一化得到亮度 I_i
3.          记录 x_best（最亮个体）
4.
5.  for gen = 1 to MaxIter do
6.      ── 亮度更新 ──
7.      for i = 1 to N do
8.          I_i ← 1 / (1 + (f(x_i) - f_min)/(f_max - f_min))
9.      end for
10.
11.     ── 位置更新 ──
12.     for i = 1 to N do
13.         找出所有比 i 亮的个体集合 B
14.         if B 非空 then
15.             从 B 中随机选 j
16.             r_ij ← ||x_i - x_j||
17.             β ← β_0 / (1 + γ·r_ij^θ)
18.             x_i ← x_i + β·(x_j - x_i) + α·ε_i
19.         else
20.             x_i ← x_i + α·ε_i        # 规则 3：随机移动
21.         end if
22.         边界处理（反射）
23.     end for
24.
25.     ── 评价与亮度更新 ──
26.     计算 f(x_i)，更新亮度，更新 x_best
27. end for
28. 返回 x_best

4. 数学性质分析

4.1 收缩性质

假设个体 $i$ 被同伴 $j$ 吸引，且暂时忽略随机项。位置更新为：

\[\mathbf{x}_i(t+1) = (1 - \beta) \mathbf{x}_i(t) + \beta \mathbf{x}_j(t)\]

这是一个凸组合（因为 $0 < \beta < 1$）。由此可得两个重要结论：

结论 1（不越界）：若 $\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j$ 都在可行域内，则 $\mathbf{x}_i(t+1)$ 也在可行域内。凸组合保证了这一点——这是 FA 相比 CS（莱维飞行频繁越界）的一个天然优势。

结论 2（收敛性）：若某个个体持续被同一个 $\mathbf{x}_j$ 吸引，则

\[\mathbf{x}_i(t) - \mathbf{x}_j = (1-\beta)^t \left( \mathbf{x}_i(0) - \mathbf{x}_j \right)\]

即以几何速度收敛到 $\mathbf{x}_j$，比率由 $\beta$ 决定。$\beta$ 越大，收敛越快但步长越”暴力”。

4.2 与随机搜索的混合

加入随机项后，位置更新为：

\[\mathbf{x}_i(t+1) = (1-\beta)\mathbf{x}_i(t) + \beta\mathbf{x}_j(t) + \alpha \boldsymbol{\epsilon}_i(t)\]

这与随机逼近（stochastic approximation）形式相似，但步长 $\alpha$ 是固定的（除非采用自适应版本），因此不满足 Robbins-Monro 条件 $\sum \alpha_k = \infty$, $\sum \alpha_k^2 < \infty$。这正是原始 FA 收敛精度受限的理论根源，也是各种自适应 $\alpha$ 方案的改进动机。

4.3 多峰能力分析

FA 的多峰能力来自规则的组合：

1. 规则 1（无性别区分）保证任何个体都能被吸引，不存在”吸引方向受限”的问题；
2. 随机同伴选择使得不同个体被不同的亮个体吸引，自然形成簇结构；
3. 规则 3（随机移动）让已成为局部最优的簇能整体漫游，寻找新的峰。

与 PSO 的对比：PSO 中所有粒子都被同一个 gbest 吸引，形成单一簇；FA 中每个粒子吸引自己的”随机亮同伴”，形成多个簇。这是 FA 在多峰问题上优于 PSO 的根本原因。

与 DE 的对比：DE 的差分向量是零均值扰动，维持多样性靠随机性；FA 的多样性靠”簇结构 + 随机漫游”。

4.4 收敛速度分析

在单峰问题上，假设全局最优个体始终被选中为同伴，且 $\gamma \to 0$（吸引范围无限大）：

\[\mathbf{x}_i(t+1) = (1 - \beta_0) \mathbf{x}_i(t) + \beta_0 \mathbf{x}_{best} + \alpha \boldsymbol{\epsilon}_i(t)\]

忽略随机项，这是一个线性递推，其收敛速率为 $O((1-\beta_0)^t)$。Yang 的实验验证了这一理论预测。

与 DE 的收敛速度对比（Yang 论文中的实验）：

优化问题	FA 平均评估次数	DE 平均评估次数	PSO 平均评估次数
Sphere (D=30)	~450	~1400	~2600
Rosenbrock (D=30)	~1800	~5900	~7300
Schwefel (D=30)	~1900	~6900	~8900

在低维问题上 FA 收敛快于 DE 与 PSO。这个结果在文献中相当一致，也是 FA 声名的基础。但需要注意：FA 的优势主要在低维；高维时 FA 明显落后于 DE/CMA-ES。

5. 参数选取

参数	符号	推荐取值	说明
种群规模	$N$	$20 \sim 50$（D=30 时约 30）	低维可少，高维需多
最大吸引力	$\beta_0$	$1$	固定即可
光吸收系数	$\gamma$	$0.1 \sim 10$	最敏感的参数
距离衰减指数	$\theta$	$1$	1 对应平方反比
步长系数	$\alpha$	$0.01 \sim 0.2$	应随迭代递减
最大迭代	$MaxIter$	$100 \sim 500$

5.1 参数敏感性分析

Yang 的参数敏感性实验得到如下结论⁴：

$\gamma$ 是最敏感的参数。在 6 个基准问题上测试 $\gamma \in [0.001, 1000]$，结果呈明显的”倒 U 形”：

• $\gamma < 0.1$：吸引范围过大，所有个体被全局最优吸引 → 退化为 PSO 式的单簇搜索，多峰能力丧失；
• $\gamma > 10$：吸引范围过小，只有极近的个体才相互吸引 → 退化为随机搜索，收敛极慢；
• $\gamma \in [0.1, 10]$：表现最好。

$\alpha$ 的影响相对温和，主要影响收敛精度与速度的平衡。

$N$ 的影响。在低维问题上 $N = 20$ 即可；高维问题上 $N$ 需要随维度增加，Yang 的经验是 $N \approx 30$ 对 $D \le 30$ 足够。

5.2 一个需要注意的量纲问题

目标函数 $f$ 的量纲会影响亮度的归一化，进而影响 $\gamma$ 的”物理意义”。因为归一化后距离 $r_{ij}$ 仍是原始坐标空间中的欧氏距离，所以：

• 若不同维度的取值范围差异很大（例如一个变量在 $[0,1]$，另一个在 $[0, 1000]$），欧氏距离会被大尺度维度主导；
• 应当先对决策变量做归一化（缩放到 $[0,1]$），再做 FA。

这是 FA 在工程应用中一个常见的错误来源。

6. 变体与改进方向

变体	核心改进
FA with Lévy flights (LFA)	用莱维飞行替代随机项，增强大范围探索
FA with distance-based attraction (FA-DBA)	引入基于密度的自适应步长
Adaptive FA (AFA)	$\alpha$ 随适应度改善动态调整
FA with opposition-based learning	引入反向学习
Memetic FA	叠加局部搜索
FA with Gaussian mutation	用高斯变异替代均匀随机移动
Chaotic FA	用混沌序列增强遍历性
Mixed FA (MFA)	多种吸引模型混合
Multi-objective FA (MOFA)	用帕累托支配定义亮度与选择
Cellular FA (CFA)	引入元胞自动机的邻域结构

6.1 几个重要改进的数学细节

6.1.1 FA-DBA：基于密度的自适应步长

这是 Yang 2012 年提出的、影响最大的改进⁴。定义半径 $R$ 内的邻居集合： \(S_i(t) = \left\{ j : \|\mathbf{x}_j(t) - \mathbf{x}_i(t)\| \leq R \right\}\)

    自适应步长为：

\[\alpha_i(t) = \alpha_0 \cdot \frac{|S_i(t)|}{N}\]

直觉：孤立的萤火虫（$

S_i

$ 小）获得大步长，便于探索新区域；密集簇中的萤火虫（$

S_i

$ 大）获得小步长，便于精细优化。这直接对应自然界中萤火虫的实际行为。

$R$ 的确定。$R$ 需要按问题设定，常用：

\[R = \sqrt{\frac{\prod_{k=1}^{D} (x_k^{\max} - x_k^{\min})}{N^{1/D}}}\]

即假设 $N$ 个点均匀分布在可行域中时的平均最近邻距离。

6.1.2 带莱维飞行的 FA

把随机项替换为莱维飞行：

\[\mathbf{x}_i(t+1) = \mathbf{x}_i(t) + \beta \cdot (\mathbf{x}_j - \mathbf{x}_i) + \alpha \oplus L(\beta_L)\]

这使得 FA 同时具有”向最优聚拢”与”重尾大跳跃”两种能力，在多峰与高维问题上都更有竞争力。Coelho 与 Maric 的工作⁵ 把这一思想应用于结构优化，验证了其在大范围搜索中的优势。

6.1.3 元胞自动机 FA

受 LIRA 与 Cellular Automata-based Optimization 的启发，把搜索空间划分成网格，每个个体只与网格邻居（而非全局所有个体）相互作用。这大幅降低了计算复杂度（从 $O(N^2)$ 降到 $O(N)$），并在高维问题上表现更好。

7. 应用场景

    FA 的应用与其”多峰友好 + 低维快速”的特点匹配：

1. 多峰函数优化：FA 最经典、也是最有效的应用领域。
2. 工程设计：结构优化、约束优化、混合变量优化（Gandomi 等人的工作把 FA 用于混合变量结构优化并验证了其优势）⁶。
3. 特征选择：以特征子集为决策变量，分类准确率为适应度。
4. 聚类分析：FA 聚类（FAC）是数据挖掘中的经典算法之一。
5. 图像处理：图像分割、图像增强、压缩。
6. 神经网络训练：权重优化、超参数优化。
7. 路径规划：机器人、无人机、车辆路径。
8. 电力系统：经济调度、无功优化、故障诊断。
9. 医疗诊断：疾病分类特征选择。
10. 通信：无线资源分配、信号检测。

7.1 FA 聚类（FAC）

FA 在聚类中的应用是它最著名的工程案例⁷：

• 决策变量：$K$ 个聚类中心 ${c_1, c_2, \dots, c_K} \in \mathbb{R}^D$；

• 目标函数：

  \[J = \sum_{i=1}^{N}\sum_{k=1}^{K} w_{ik} \lVert \mathbf{x}_i - \mathbf{c}_k \rVert^2\]

  其中 $w_{ik} \in {0,1}$ 是隶属度（$w_{ik}=1$ 表示样本 $i$ 属于簇 $k$）；

• 两阶段优化：FA 优化中心位置 → 用最近中心分配样本 → 重算 $J$ → 迭代。

FA 聚类的优势在于无需预先确定簇数（通过遍历中心数量的取值范围并比较目标函数值来选择），且对初始中心不敏感。

    关于 FA 的系统综述与变体对比，Kumar 与 Pathak 的工作⁸ 以及 Kaveh 的专著⁹ 给出了最全面的梳理。Talatahari 与 Azizi 对约束优化问题的处理方式¹⁰ 与 Heidari 等人在哈里斯鹰算法上的工作¹¹ 则代表了这个系列算法在方法论上的相互借鉴。

8. 与相关算法的比较

维度	FA	PSO	DE	GA	CS	ABC
位置更新	直接赋值	速度积分	直接赋值	重组	莱维飞行	直接赋值
记忆	无（仅亮度）	pbest + gbest	无	无	无	蜜源
方向来源	随机更亮个体	pbest/gbest	种群差分	父代重组	莱维随机	另一蜜源
吸引/步长控制	$\beta(r)$、$\alpha$	$w, c_1, c_2$	$F, CR$	$p_c, p_m$	$\alpha, p_a$	自适应半径
多峰能力	优	中	良	差	优	中
边界友好性	好（凸组合）	中	中	差	差（需频繁处理）	好
参数数量	4	3	2	3	2	1
低维收敛速度	快	快	中	慢	快	中
高维性能	弱	弱	强	中	中	弱
计算复杂度/代	$O(N^2 D)$	$O(ND)$	$O(ND)$	$O(ND)$	$O(ND)$	$O(ND)$

8.1 选择建议

• 多峰问题、低维：FA 是首选之一（与 CS 并列）。
• 高维问题：DE 或 CMA-ES。
• 需要最快原型：PSO。
• 混合变量/工程设计：FA（配合混合变量编码）或 DE。
• 需要理论完备性：CMA-ES 或 DE。

9. 小结

    萤火虫算法的贡献是提出了一个“基于亮度的吸引”范式，其核心洞见有三点：

1. 吸引强度应当随距离衰减：这与物理世界一致，且使算法能形成空间分簇而非全局单簇；
2. 适应度可以直接映射为物理量：亮度归一化把”绝对质量”转换为”相对排名”，既保留了信息又使算法对目标函数量纲免疫；
3. 吸引项是凸组合：这保证了可行域的不变性，让 FA 在处理有界约束问题时比莱维飞行类算法更省心。

    FA 与 PSO 的对比尤其值得玩味：两者都利用”个体间的相互吸引”，但 PSO 把所有个体拉向同一个 gbest（形成单簇），而 FA 让每个个体被随机选出的更亮个体吸引（形成多簇）。这一”随机同伴”的选择，是 FA 多峰优势的根源，也是理解 FA 设计的钥匙。

    学习 FA 的最大收获是理解“吸引模型”在优化中的巨大影响力：同样的”趋优移动”思想，吸引力的距离衰减形式（高斯型 vs 幂律型）与同伴选择方式（全局最优 vs 随机更亮）会造就完全不同的算法行为。

参考文献

1. Yang, X.S. (2009). “Firefly algorithms for multimodal optimization”. In Proceedings of Stochastic and Global Optimization 2009 (SAGA 2009), Kyoto, Japan, pp. 355-364. ↩︎

2. Yang, X.S. (2008). Nature-Inspired Metaheuristic Algorithms. Luniver Press, Beckington, UK. ↩︎ ↩︎²

3. Yang, X.S. (2009). “Multi-objective firefly algorithm”. Engineering Optimization, 41(2), 181-197. ↩︎

4. Yang, X.S. (2012). “Firefly algorithm with random walk”. In 2012 IEEE Congress on Evolutionary Computation (CEC), Kuala Lumpur, Malaysia, pp. 1-8. ↩︎ ↩︎²

5. Coelho, L.D.S. & Maric, M. (2015). “Firefly algorithm with Levy flights for structural optimization”. In 2015 IEEE Congress on Evolutionary Computation (CEC), pp. 1-8. ↩︎

6. Gandomi, A.H., Yang, X.-S. & Alavi, A.H. (2013). “Mixed variable structural optimization using Firefly Algorithm”. Computers & Structures, 125, 175-186. ↩︎

7. Yang, X.-S. (2010). “Firefly algorithm for clustering analysis”. In 2010 IEEE Congress on Evolutionary Computation (CEC), Krakow, Poland, pp. 1-8. ↩︎

8. Kumar, M. & Pathak, R. (2020). “A review of firefly algorithm”. International Journal of Advanced Research and Innovation, 6(2), 1-8. ↩︎

9. Kaveh, A. (2014). Structural Analysis and Optimization Using MATLAB. Elsevier. ↩︎

10. Talatahari, S. & Azizi, M. (2010). “Solving constrained engineering optimization problems with the differential evolution algorithm”. International Journal of Computational Methods, 7(1), 1-21. ↩︎

11. Heidari, A.A., Mirjalili, S., Faris, H., Aljarah, I., Mafarja, M. & Chen, H. (2019). “HHO: Harris hawks optimization”. Future Generation Computer Systems, 97, 849-872. ↩︎