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人工蜂群算法（ABC）

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人工蜂群算法（ABC）

1. 背景与动机

    人工蜂群算法（Artificial Bee Colony Algorithm, ABC）由土耳其 Erciyes 大学的 Dervis Karaboga 于 2005 年在其技术报告 TR06 中首次提出，随后在 Karaboga 与 Basturk 2007 年发表于 Journal of Global Optimization 的论文中给出了完整的理论框架与实验验证12。该算法的灵感来源于蜜蜂群体在蜂巢中采集蜂蜜的高效协作机制。

    从生物学角度看，一个蜂群可能由数万只蜜蜂组成，但真正完成采蜜的”决策”过程却异常简洁。蜜蜂通过两种信息载体实现群体协调：

  1. 局部直接交流：蜜蜂在蜂巢内通过”触角接触”交换信息，速度快但作用范围仅限于直接接触的个体。
  2. 全局间接交流：蜜蜂通过”摇摆舞”（waggle dance）向同伴传递蜜源的方位角、距离和蜜量信息。任何一只找到优质蜜源的蜜蜂回到巢中跳舞，整个蜂群都能在短时间内获知该信息，即使没有任何一只蜜蜂真正去过那个蜜源。

    ABC 算法正是这两种机制的数学抽象：局部搜索阶段对应蜜蜂在当前蜜源附近的探索，全局通信阶段对应摇摆舞的信息传播，侦察阶段对应蜜蜂在蜜源枯竭后主动飞往未知区域。ABC 之所以在函数优化上表现优异，源于它同时具备两项其他群智能算法rarely具备的性质：

  • 自适应参数：没有需要人工调节的步长参数或收敛曲线形状参数，搜索半径完全由当前种群的几何尺度决定；
  • 内在的探索-开发平衡：通过”限制次数”（limit）机制使算法在局部最优附近停滞时能够自动跳出，而无需额外的重启策略。

    从更长的历史脉络看，ABC 与蚁群算法 ACO3 共享同一个思想源头——对自然界群体协作机制的数学建模；但 ACO 用信息素的全局累积协调路径搜索，而 ABC 用蜜源质量的比例分配协调注意力分配，二者的信息传播机制截然不同。ABC 的后续发展则与 Yang 提出的”自然启发算法”系列4一道，把”从生物学机制中提取优化算子”这一范式推向了高峰。

蜂群角色分工与收敛曲线

2. 问题形式化

    考虑如下无约束连续优化问题：

\[\min_{\mathbf{x} \in \Omega} f(\mathbf{x}), \qquad \Omega = \prod_{j=1}^{D} [x_j^{\min}, x_j^{\max}]\]

其中 $f: \Omega \to \mathbb{R}$ 是目标函数，$D$ 是问题维数，$\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_D)^{\mathsf{T}}$ 是决策向量。

    ABC 算法维护一个包含 $N$ 个蜜源（食物源）的种群 $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \dots, \mathbf{x}_N \in \Omega$，每个蜜源对应一个候选解。与其他元启发式算法类似，ABC 通过在 $\Omega$ 上反复生成新样本来逼近最优解。

2.1 适应度函数的转换

    ABC 的原始形式是为最大化问题设计的。为了统一处理最小化问题，同时避免目标函数出现负值或跨零导致选择概率计算失效，标准做法是把目标函数映射为非负的适应度（Fitness）：

\[\text{fit}(\mathbf{x}) = \begin{cases} \dfrac{1}{1 + f(\mathbf{x})}, & f(\mathbf{x}) \geq 0 \\[1.2em] 1 + \lvert f(\mathbf{x}) \rvert, & f(\mathbf{x}) < 0 \end{cases}\]

    这个变换有三个值得注意的性质：

  1. 单调性：$f$ 越小，$\text{fit}$ 越大，因此最大化 $\text{fit}$ 等价于最小化 $f$，且不会改变解的优劣排序。
  2. 有界性：当 $f \geq 0$ 时 $\text{fit} \in (0, 1]$，有上界；当 $f < 0$ 时 $\text{fit} = 1 +f\in (1, \infty)$。这保证了适应度恒正，从而可以安全地用于概率归一化。
  3. 非线性压缩：$f \geq 0$ 区间上采用倒数变换，对 $f$ 的改善做了压缩。例如 $f$ 从 $10^{-3}$ 改善到 $10^{-6}$，对应的适应度从 $0.999$ 提升到 $0.999999$，改善幅度被显著放大。这正是”在接近最优时加速收敛”所需要的特性。

工程提示：如果目标函数值本身已经恒为正且量级适中，可以直接令 $\text{fit} = -f$ 或使用分段线性变换 $\text{fit} = 1/(1+f)$；但若某些问题的 $f$ 可能非常大（如 $10^{10}$），倒数变换会造成适应度在数值上全部趋近于 0，导致选择操作退化为均匀随机。因此工程实现中常做归一化： \(\text{fit}_i = \frac{f_i - f_{\max}}{f_{\min} - f_{\max}}\) 将适应度线性拉伸到 $[0,1]$，或采用基于秩的适应度（见 §3.4）。

2.2 算法的三个阶段与三个角色

    ABC 的每一轮迭代（generation）包含三个阶段，蜜源的角色在阶段之间流转：

阶段角色数量关系行为
阶段一引领蜂（Employed Bee）$N$ 只，与蜜源一一对应在自己的蜜源附近做局部邻域搜索
阶段二跟随蜂（Onlooker Bee）$N$ 只通过摇摆舞信息按概率选择蜜源，再做局部搜索
阶段三侦察蜂（Scout Bee）最多 1 只放弃已枯竭的蜜源，在全局随机探索

    这种”角色轮转”是 ABC 区别于其他算法的核心设计。引领蜂负责精耕已经确认的高质量蜜源，跟随蜂按质量分配注意力实现开发（exploitation），侦察蜂保证算法不会永远困在一个区域内。种群规模 $N$ 同时也是蜜源数量，”种群”与”记忆”在这里是同一份数据。

3. 数学原理

3.1 阶段一：引领蜂的局部搜索

    引领蜂 $i$ 占据的蜜源记为 $\mathbf{x}_i$。它在自己蜜源的邻域内生成候选解：

\[v_{i,j} = x_{i,j} + \phi_{i,j} \cdot \left( x_{i,j} - x_{k,j} \right)\]

    其中：

  • $k \in {1, \dots, N}$，$k \neq i$，$k$ 是随机选取的另一个蜜源索引；
  • $\phi_{i,j} \sim U(-1, 1)$，是逐维独立采样的缩放因子；
  • $j$ 是决策向量的维度索引。
    这个公式的含义是：蜜源 $i$ 沿着”从 $x_k$ 指向 $x_i$”的方向移动一个随机步长。步长的上限是 $x_{i,j} - x_{k,j}$，即种群中随机两个个体在该维度上的距离。
    为什么搜索半径是自适应的？ 这是 ABC 最精妙的设计之一。假设当前所有蜜源都聚集在目标最优解附近，那么随机抽取的 $x_k$ 与 $x_i$ 的距离也很小，搜索半径自动收缩；反之若种群分散在广阔区域，$x_{i,j} - x_{k,j}$ 很大，搜索半径自动放大。因此 $\phi_{i,j}$ 虽被限制在 $[-1,1]$，但实际的搜索尺度由种群几何结构决定，无需人为设定步长参数。

    逐维独立采样的重要性。$\phi_{i,j}$ 对每个维度 $j$ 独立采样，意味着不同维度上的扰动方向与幅度互不相关。这一点非常重要：如果所有维度共用一个 $\phi$，那么扰动会沿种群主轴方向整体平移，无法探索垂直于主轴的窄谷（例如 Rosenbrock 函数的山谷方向）。逐维采样是 ABC 能够处理旋转问题（rotated problem）的基本保证。

    贪心选择。计算新蜜源的质量：

\[\text{fit}(\mathbf{v}_i) \ \text{vs.}\ \text{fit}(\mathbf{x}_i)\]

若 $\text{fit}(\mathbf{v}_i) > \text{fit}(\mathbf{x}_i)$，接受新蜜源：

\[\mathbf{x}_i \leftarrow \mathbf{v}_i, \qquad \text{fit}_i \leftarrow \text{fit}(\mathbf{v}_i)\]

否则拒绝新蜜源，保留原蜜源 $\mathbf{x}_i$ 不变，并将该蜜源的计数器（trials / 计数器 $trial_i$）加一：

\[\text{trial}_i \leftarrow \text{trial}_i + 1\]

注意：ABC 采用的是严格贪心（父代与子代一对一比较），没有精英保留机制。这意味着较差的新蜜源会直接丢弃，但由于”拒绝会累加计数器”，较差蜜源在后续会被侦察蜂替换，所以整体上仍不会丢失最优解。这一点与 GA 的”精英保留”形成对比，是 ABC 收敛速度略慢但结构更简洁的原因。

3.2 阶段二：跟随蜂的概率选择（摇摆舞的数学化）

    跟随蜂并不独立搜索，而是复用引领蜂阶段得到的信息。它按适应度成比例地选择蜜源：

\[P_i = \frac{\text{fit}_i}{\displaystyle\sum_{j=1}^{N} \text{fit}_j}, \qquad i = 1, \dots, N\]

    其中 $P_i$ 是跟随蜂选择蜜源 $i$ 的概率。实现上通常采用轮盘赌（roulette wheel）或锦标赛选择。

    一旦选定蜜源 $i$，跟随蜂执行与引领蜂完全相同的局部搜索公式：

\[v_{i,j} = x_{i,j} + \phi_{i,j} \left( x_{i,j} - x_{k,j} \right), \qquad k \neq i \text{ 随机}, \quad \phi_{i,j} \sim U(-1,1)\]

    并同样执行贪心接受/拒绝判定。跟随蜂与引领蜂的区别仅在于”如何选定要搜索的蜜源”：引领蜂忠于自己的蜜源，跟随蜂按概率挑选。

    这个概率选择机制就是”摇摆舞”的数学抽象。适应度高的蜜源被更多跟随蜂光顾，形成正反馈加速开发；适应度低的蜜源几乎无人问津，把计算资源让给有希望的区域。共享蜜源（shared nectar） 的类比也在此成立——多只蜜蜂同时开采同一个蜜源，各自在其周围搜索不同方向，合力扩大局部覆盖。

3.2.1 概率偏差与”确定性选择”的改进

    轮盘赌的一个隐患是：适应度之间差距过大时，概率会退化为 $P_{best} \approx 1$，其余蜜源几乎不被选择，算法陷入类似”纯精英策略”的僵化状态；反之若差距过小，选择接近均匀随机，开发能力不足。

    Karaboga 与 Basturk 在 2007 年提出的 ABC/rand 变体用一个巧妙的技巧缓解了这一问题：在阶段一之后，以一定概率将部分蜜源随机重分配给跟随蜂：

\[P_{i,sel} = \begin{cases} P_i, & \text{以概率 } p \text{ 保留原概率} \\ 1/N, & \text{以概率 } 1-p \text{ 均匀重置} \end{cases}\]

    这一”概率注入均匀项”的技巧在数值上等价于在适应度上叠加一个小的随机扰动，保持了高适应度蜜源的优势，同时给低适应度蜜源保留了一丝被选中的机会。

3.3 阶段三：侦察蜂与蜜源枯竭机制

    这是 ABC 保证跳出局部最优的关键机制。

    每个蜜源 $i$ 都有一个计数器 $\text{trial}_i$，初始为 $0$。每当对该蜜源的搜索未能改善其质量（即 §3.1 中的拒绝事件发生），计数器加一。当某个蜜源的计数器达到预设阈值 $\text{limit}$ 时，判定该蜜源已枯竭（exhausted），由侦察蜂将其放弃：

\[\text{trial}_i \geq \text{limit} \quad \Longrightarrow \quad \text{蜜源 } i \text{ 被遗弃}\]

    侦察蜂在搜索空间的可行域内均匀随机地产生一个新蜜源：

\[x_{i,j}^{new} = x_j^{\min} + \text{rand}_{i,j} \cdot \left( x_j^{\max} - x_j^{\min} \right), \qquad \text{rand}_{i,j} \sim U(0,1)\]

    并重置计数器 $\text{trial}_i = 0$。

    阈值 limit 的意义与取值。$\text{limit}$ 决定了算法”耐心”的程度：

  • $\text{limit}$ 太小：蜜源很容易被判为枯竭，算法频繁随机跳转，丧失开发能力，表现为收敛曲线震荡；
  • $\text{limit}$ 太大：算法在无望的蜜源上反复浪费评估预算，跳出局部最优变得迟缓。

Karaboga 的经验建议是：

\[\text{limit} = SN \cdot D\]

    其中 $SN$ 是种群规模，$D$ 是问题维数。其直觉是：蜜源需要经过”约等于一个种群在一个维度上的搜索次数”的努力仍未改善，才算真正枯竭。也有研究者采用自适应形式 $\text{limit} = \text{limit}_{\max} \cdot (SN \cdot D) / 2$，在演化后期略微降低耐心。

    侦察蜂比例。侦察蜂数量 $S$（通常 $S \leq SN/2$）决定了随机探索与局部开发的资源分配比例。原始 ABC 中每个蜜源最多对应一只侦察蜂，即最多有 $SN$ 只侦察蜂同时行动（若多个蜜源同时枯竭）。后续的改进版本（如 ABC/rand、best-worst、ABC with sharing）通过固定侦察蜂比例进一步调控。

3.4 蜜源质量与排序策略

    在阶段三开始前，通常需要把蜜源按适应度降序排序，并将最优蜜源记录为 $\mathbf{x}_{best}$。这一步在改进版算法中尤为重要。

3.4.1 秩基适应度（rank-based fitness）

    为消除 §2.1 中倒数变换的数值问题并抑制”超级个体”对概率的垄断，一种稳健做法是直接使用秩：

\[P_i = \frac{SN - \text{rank}_i + 1}{\displaystyle\sum_{k=1}^{SN} (SN - \text{rank}_k + 1)}\]

    其中 $\text{rank}_i = 1$ 表示最优个体。这个归一化的秩基选择把概率分布约束在一个温和的范围内（例如 $SN=20$ 时最优个体概率约 $0.15$，最差个体约 $0.002$），既保证了开发压力，又不至于完全丧失多样性。

3.4.2 精英保留与最优解追踪

    严格来说，ABC 的贪心替换不会主动保留历史最优解。但由于侦察蜂的随机替换会替换掉最差的蜜源，而最优蜜源几乎不可能在有限次评估内连续失败 $\text{limit}$ 次，因此实践中最优解几乎总被保留。为了严谨，工程实现中通常显式维护全局最优：

\[\mathbf{x}^{best}_{t+1} = \arg\min_{\mathbf{x} \in \{\mathbf{x}^{best}_t, \mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_N\}} f(\mathbf{x})\]

3.5 算法流程

    ABC 的一次完整迭代如下：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
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33
34

输入：种群规模 SN，维度 D，最大迭代次数 MaxIter，枯竭阈值 limit
输出：全局最优解 x_best

1.  初始化：在可行域内均匀随机生成 SN 个蜜源 x_1, ..., x_SN
    计算各蜜源适应度 fit_i，初始化计数器 trial_i = 0，记录全局最优 x_best

2.  for gen = 1 to MaxIter do

3.      ── 阶段一：引领蜂 ──
4.      for i = 1 to SN do
5.          随机选 k ≠ i，随机选维度 j_rand
6.          按 v_{i,j} = x_{i,j} + φ_{i,j}(x_{i,j} - x_{k,j}) 生成候选蜜源 v_i
7.          若 fit(v_i) > fit(x_i) 则  x_i ← v_i,  trial_i ← 0
8.          否则                        trial_i ← trial_i + 1
9.      end for

10.     ── 阶段二：跟随蜂 ──
11.     计算选择概率 P_i = fit_i / Σ fit_j
12.     for i = 1 to SN do
13.         按 P 选择一个蜜源 m（可带均匀扰动）
14.         按 v_{m,j} = x_{m,j} + φ(x_{m,j} - x_{k,j}) 生成候选蜜源 v_m
15.         若 fit(v_m) > fit(x_m) 则  x_m ← v_m,  trial_m ← 0
16.         否则                        trial_m ← trial_m + 1
17.     end for

18.     ── 阶段三：侦察蜂 ──
19.     找出所有 trial_i ≥ limit 的蜜源
20.     for 每个这样的蜜源 i do
21.         x_i ← 均匀随机生成的全新蜜源；trial_i ← 0
22.     end for

23.     更新全局最优 x_best
24. end for
25. 返回 x_best

3.6 收敛性讨论

    ABC 的收敛性可以从两个层面讨论。

层面一：非适应性收敛保证。 由于每个蜜源被替换的概率随迭代单调不增，且当 $\text{limit}$ 有限时随机探索几乎必然覆盖整个可行域，ABC 在概率意义上以 1 收敛到全局最优解的邻域。类似遗传算法的”无限时间收敛定理”（infinite-time convergence theorem），ABC 在 $t \to \infty$ 时收敛到全局最优。但这一保证依赖于无限次迭代，实践中意义有限。

层面二：实际收敛速率。 ABC 在基准函数上的表现通常优于标准 GA 与标准 PSO（尤其在低维问题上），原因是：

  1. 搜索半径自适应：无需像 GA 那样靠交叉概率间接控制多样性；
  2. 逐维独立扰动：天然适应旋转与缩放变化的问题几何；
  3. 两级信息传递：引领蜂的确定性探索与跟随蜂的概率性再分配形成互补。

其主要弱点在于高维问题上性能下降明显。原因是：随着 $D$ 增大，局部搜索在 $D$ 维空间中的”有效步长”被稀释——单维扰动在 $D$ 维中的欧氏长度只有 $\sqrt{D}$ 分之一的量级，而每次迭代只扰动一个维度，使得收敛所需的评估次数呈指数增长。针对这一问题的改进方向包括：多维度同时扰动、引入”搜索方向记忆”（如 DE 的差分向量）、以及把 ABC 与 DE/PSO 混合。Karaboga 与 Basturk 的后续工作5 系统比较了各种 ABC 变体在基准函数上的表现，并给出了参数选取的经验区间。

4. 参数选取与工程实现

参数符号典型取值说明
种群规模$SN$$20 \sim 50$过小易早熟，过大线性增加评估次数
枯竭阈值$\text{limit}$$SN \cdot D$越大越”执着”，跳出局部最优越慢
侦察蜂比例$S/SN$$\le 1/2$越大随机性越强
最大迭代数$MaxIter$$100 \sim 1000$一般以评估次数 $SN \cdot MaxIter$ 作为预算
缩放因子$\phi$$U(-1,1)$一般不需调整

    关键工程细节：

  1. 边界处理：生成 $v_{i,j}$ 后若超出 $[x_j^{\min}, x_j^{\max}]$，应做反射（reflect）而非截断（clip）： \(v_{i,j} = 2x_j^{\max} - v_{i,j} \quad \text{或} \quad v_{i,j} = x_j^{\min} + x_j^{\max} - v_{i,j}\) 截断会造成边界处的”人工吸引子”，使大量个体滞留在边界上，破坏 §3.1 所述的自适应半径机制。

  2. 维度选取：原始 ABC 每次只扰动一个维度（先随机选 $j$，只更新 $v_{i,j}$，其余维度保持 $x_{i,j}$）。这是与 PSO（同时更新所有维度）的显著区别，也是 ABC 在高维上慢的主要原因之一。实际工程中常改为同时更新多个维度或全部维度以提升效率，但会损失一部分自适应特性。

  3. 适应度缓存：由于跟随蜂可能重复选择同一蜜源，可缓存 $\text{fit}(\mathbf{x}_i)$ 避免重复评估，这对评估代价昂贵的黑盒问题（如仿真优化）意义重大。

5. 变体与改进方向

变体核心改进适用场景
ABC/rand引入概率均匀扰动（§3.2.1）抑制早熟
ABC/best-worst用最优/最差蜜源构造扰动方向加快收敛
ABC with sharing蜜源间共享适应度信息，抑制重复搜索多峰函数
MABC（Modified ABC）引入局部最优邻域搜索算子混合局部搜索
ABC/rand/1借用 DE 的差分变异构造扰动高维、旋转问题
GABC（Global ABC）引入全局引导项大范围全局搜索

    从更宏观的视角看，ABC 的历史意义在于：它是第一批把”自适应搜索半径”作为核心机制显式引入元启发式框架的算法之一。这一思想在后续的 DE（用种群差分定义步长）、CMA-ES（用协方差矩阵定义步长方向与长度）、GWO（用 $\vec{A}$ 系数线性收缩）中反复出现，可以说 ABC 启发了此后二十年群智能算法的”自适应步长”潮流。

6. 应用场景

    ABC 自提出以来在众多领域得到应用，典型包括：

  1. 数值函数优化：作为基准测试算法，用于评估其他智能优化算法的性能。
  2. 聚类分析：以聚类中心为决策变量，簇内平方和为适应度，是 ABC 最经典的应用之一（ABC 最初即在 UCI 数据集上验证聚类能力）。
  3. 图像分割：以阈值、模糊聚类中心为变量，配合模糊隶属度函数构造适应度。
  4. 神经网络训练：用于权值初始化、隐含层节点数优化、结构优化。
  5. 工程设计优化：如机械零件参数设计、压力容器设计（最小化重量同时满足应力约束）。
  6. 特征选择：以特征子集为染色体，以分类准确率为适应度。
  7. 路径规划与调度：机器人路径规划、车辆路径问题、车间调度。

    在使用 ABC 时需要注意其计算代价：一次迭代需要 $2 \times SN$ 次目标函数评估（引领蜂阶段 $SN$ 次，跟随蜂阶段 $SN$ 次），因此当 $MaxIter = 500$、$SN = 30$ 时共需约 $30{,}000$ 次评估。对于仿真代价高昂的工程问题，应当结合代理模型（surrogate model）或采用小种群 + 更多迭代的策略。

7. 与其他算法的对比

    下表从数学机制层面总结 ABC 与本系列其他算法的本质差异：

算法步长/搜索半径的来源搜索方向来源多样性维持机制
ABC$\lvert x_{i,j} - x_{k,j} \rvert$（种群内个体差）指向/背离另一随机蜜源侦察蜂随机替换枯竭蜜源
GA交叉 + 变异概率（固定）父代片段重组变异率维持
PSO速度惯性（外部参数 $w$）指向 pbest / gbest速度阻尼、位置重置
DE$F \cdot (x_{r2} - x_{r3})$（种群差分）种群差分向量差分向量的随机性
GWO$\lvert 2a r - a \rvert \cdot \lvert C x_\alpha - x \rvert$指向 $\alpha,\beta,\delta$收敛因子 $a$ 线性递减
CMA-ES$\sigma \cdot \sqrt{C}$（协方差矩阵）协方差主轴方向协方差矩阵的随机演化

    ABC 的独特之处在于：它的搜索半径完全由种群内两点的距离给出，没有任何外部步长参数。这使得它对参数设置极为鲁棒，但也导致其在高维空间中的”稀释效应”问题突出。

8. 小结

    人工蜂群算法用三个简洁的机制——自适应半径的局部搜索、基于适应度比例的全局信息共享、基于计数器的枯竭替换——构成了一个完整的”开发-探索”闭环。它无需任何手工调节的步长参数，在中低维连续优化问题上表现稳定，是理解群智能算法自适应机制的最佳范本之一。

    对学习者的建议是：ABC 的伪代码非常短（§3.5），适合作为第一个动手实现的群智能算法。通过实现可以直观体会”自适应搜索半径”这一核心概念，并理解”信息共享如何转化为搜索资源分配”这一群智能算法的共性机制。

参考文献

  1. Karaboga, D. (2005). “An idea based on honey bee swarm for numerical optimization”. Technical Report TR06, Erciyes University, Engineering Faculty, Computer Engineering Department, Kayseri, Turkey. ↩︎

  2. Karaboga, D. & Basturk, B. (2007). “A powerful and efficient algorithm for numerical function optimization: artificial bee colony (ABC) algorithm”. Journal of Global Optimization, 39(3), 459–471. ↩︎

  3. Dorigo, M., Maniezzo, V. & Colorni, A. (1996). “Ant system: optimization by a colony of cooperating agents”. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics-Part B, 26(1), 1–23. ↩︎

  4. Yang, X.S. (2014). Nature-Inspired Algorithms: From Mating Mechanisms to Swarm Optimization. Vol. 5 of Natural Computing Series. Springer. ↩︎

  5. Karaboga, D. & Basturk, B. (2008). “An effective based algorithm for numerical function optimization: artificial bee colony (ABC) algorithm”. Applied Soft Computing, 8(3), 1157–1169. ↩︎

智能计算
人工蜂群 ABC 群智能 优化算法
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