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蝙蝠算法（BA）

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蝙蝠算法（BA）

1. 背景与动机

    蝙蝠算法（Bat Algorithm, BA）由 Xin-She Yang 于 2010 年提出，论文 “A New Metaheuristic Bat-Inspired Algorithm” 发表在 NICSO 2010 会议上1，并在 2014 年的专著 Nature-Inspired Algorithms 中给出了扩展版本2。

    BA 的灵感来自蝙蝠的回声定位（echolocation）行为。蝙蝠通过发出超声波脉冲并接收反射回波来探测目标，这个过程包含三个可被数学化的关键机制：

  1. 频率调节（Frequency Adaptation）：蝙蝠发出的超声波频率是可调的——低频用于远距离探测（波长长，穿透力强但分辨率低），高频用于近距离精确探测（波长短，分辨率高但衰减快）。这对应算法中的全局探索与局部开发的切换。
  2. 响度自适应（Loudness Adaptation）：蝙蝠发出的响度随接近目标而增大——近距离时用更响的声波以更精确定位。响度的衰减速率对应算法中搜索精度的自我调节。
  3. 脉冲发射率自适应（Pulse Rate Adaptation）：蝙蝠在搜索初期发出大量脉冲（高频采样），锁定目标后脉冲频率降低（收敛）。这对应算法的探索-开发平衡机制。

    回声定位是自然界中最精巧的测距机制之一，其数学本质是”主动发射信号 + 接收反馈 + 根据反馈调整发射参数”。BA 把这个闭环精确地映射为优化算法：目标函数是”回波强度”，算法参数（频率、响度、脉冲率）是”发射参数”。

蝙蝠回声定位与收敛曲线

2. 问题形式化与三组参数

    考虑连续空间的最小化问题：

\[\min_{\mathbf{x} \in \Omega} f(\mathbf{x}), \qquad \Omega = \prod_{j=1}^{D} \left[ x_j^{\min}, x_j^{\max} \right]\]

    BA 维护 $N$ 个蝙蝠（个体），每个个体携带三组自适应参数：

生物概念算法参数符号含义
超声波频率频率$f_i$控制搜索步长的尺度（全局↔局部）
响度响度$A_i$控制位置更新的幅度，随迭代衰减
每秒脉冲数脉冲发射率$r_i$控制局部搜索的发生概率

    这三组参数的分工是 BA 的精髓：

  • $f_i$ 决定“往哪走、走多远”（空间尺度）；
  • $A_i$ 决定“一次走多远、噪声多大”（随机性幅度）；
  • $r_i$ 决定“多频繁地在局部精调”（开发频率）。

3. 数学原理

3.1 频率初始化与更新

3.1.1 频率的初始化

每个蝙蝠 $i$ 的初始频率在 $[f_{\min}, f_{\max}]$ 内均匀随机采样：

\[f_i \sim U\left( f_{\min}, f_{\max} \right)\]

Yang 建议的典型取值是：

\[f_{\min} = 0, \qquad f_{\max} = 1\]

3.1.2 频率的更新

在每次迭代中，所有蝙蝠的频率重新采样：

\[f_i^t = f_{\min} + \left( f_{\max} - f_{\min} \right) \beta_i, \qquad \beta_i \sim U(0, 1)\]

这个公式的设计意图非常值得玩味。物理上，蝙蝠的频率是”每次探测时根据目标距离选择”的，因此它是每次重新采样而非固定或渐变的。

数学上，这一步把频率变成了位置更新的随机缩放因子。把速度更新公式代入（见 §3.2）：

\[\mathbf{v}_i^t = \mathbf{v}_i^{t-1} + \left( \mathbf{x}_i^{t-1} - \mathbf{x}_{best}^{t-1} \right) f_i^t\]

可见 $f_i^t$ 直接缩放了”向 gbest 靠近”的位移量：

  • $f_i^t \to 0$：位移极小，蝙蝠几乎原地不动（局部精细搜索）；
  • $f_i^t \to f_{\max}$：位移很大，蝙蝠大幅跳跃（全局探索）。

由于 $\beta_i$ 每只蝙蝠、每次迭代独立采样，不同蝙蝠在同一时刻具有不同的搜索尺度。这是 BA 实现”种群内尺度多样性”的方式——一个种群中同时存在”粗搜”与”细搜”的个体。

    与 PSO 的对比。PSO 的惯性权重 $w$ 是全种群共享且随迭代系统性变化的；BA 的频率是个体独立且每次随机重采样的。两者的差异带来不同的行为：

 PSOBA
尺度控制全局单调递减个体随机重采样
效果统一的”先粗后细”种群内同时存在多种尺度
早熟倾向中低（尺度多样性提供持续探索）

3.2 位置更新（速度-位置）

    BA 的位置更新采用 PSO 式的速度-位置形式：

\[\mathbf{v}_i^{t+1} = \mathbf{v}_i^t + \left( \mathbf{x}_i^t - \mathbf{x}_{best}^t \right) f_i^{t+1}\] \[\mathbf{x}_i^{t+1} = \mathbf{x}_i^t + \mathbf{v}_i^{t+1}\]

    注意与 PSO 的关键差异：

  1. 没有惯性权重 $w$。PSO 有 $w \cdot \mathbf{v}i^t$ 项，BA 没有。BA 的”记忆”完全通过 $\mathbf{x}_i^t - \mathbf{x}{best}^t$ 这一项实现。
  2. 没有随机的学习因子项。PSO 有 $c_1 r_1 (pbest - x) + c_2 r_2 (gbest - x)$，BA 只有一项 $(x_i - x_{best}) f_i$。
  3. 没有 pbest 记忆。BA 只用当前的 gbest，不保存每个个体的历史最优。

因此 BA 的运动本质上是：

\[\mathbf{x}_i^{t+1} = \mathbf{x}_i^t + \mathbf{v}_i^t + f_i^{t+1} \left( \mathbf{x}_i^t - \mathbf{x}_{best}^t \right)\]

这实际上是”以 gbest 为中心的爆炸收缩”：所有蝙蝠都朝 gbest 移动，但移动量由各自随机的频率决定。频率大的蝙蝠冲得远，可能越过 gbest 冲到另一侧；频率小的蝙蝠只是微微靠近。

    这个机制的巧妙之处：因为 $\mathbf{x}i^t - \mathbf{x}{best}^t$ 是指向 gbest的向量（而不是背离），当 $f_i > 1$ 时蝙蝠会越过 gbest。这制造了围绕 gbest 的振荡与环绕，配合后面的局部搜索能有效精调。

3.3 局部搜索

    当一只蝙蝠被判定为”接近目标”（即它的位置足够接近 gbest）时，以概率 $r_i$ 触发一次局部搜索：

\[\mathbf{x}_i^{t+1} = \mathbf{x}_{best}^{t} + A^t \cdot \boldsymbol{\epsilon}\]

    其中：

  • $A^t$ 是当前的响度；
  • $\boldsymbol{\epsilon} \sim U(-1, 1)^D$ 是逐维随机向量。

触发条件。原始论文的条件是：

\[\|\mathbf{x}_i^t - \mathbf{x}_{best}^t\| < r_0\]

其中 $r_0$ 是一个小的固定半径（如 0.001）。但这一”距离小于固定半径”的条件在高维空间中几乎不可能满足（高维空间的距离普遍很大），因此在实践中，Yang 后来推荐使用归一化的距离条件：

\[\frac{\|\mathbf{x}_i^t - \mathbf{x}_{best}^t\|}{\|\mathbf{x}_i^t - \mathbf{x}_{best}^0\|} < r_0\]

即”相对于初始距离的收缩比例”，这在各种维度下都有效。

这样在多峰问题上尤其有效。Yang 与 Heidari 在其专著中对 BA 的各变体做了系统的对比分析3，是理解该算法演进脉络的最佳参考。

    改进版本：融合局部搜索。Yang 提出的”融合局部搜索“（Hybrid/local search）变体不再用硬阈值，而是直接以概率 $r_i$ 执行局部搜索，并把随机数范围按维度自适应缩放：

\[\mathbf{x}_i^{t+1} = \mathbf{x}_{best}^{t} + \varepsilon \cdot A^t, \qquad \varepsilon \sim U(-1, 1)^D\]

这在多峰问题上尤其有效。

局部搜索的半径。由于 $\epsilon \sim U(-1,1)$，扰动的最大幅度是 $A^t$（每维）。因此响度 $A^t$ 直接就是局部搜索的搜索半径。

3.4 响度与脉冲发射率的自适应

    这是 BA 的自适应核心。

3.4.1 响度的衰减

\[A_i^{t+1} = \alpha A_i^t\]

    其中 $\alpha \in (0, 1)$ 是响度衰减系数（loudness decay factor）。每一代、每一只蝙蝠都这样衰减。

这是一个”全局单调收缩”机制。由于 $A_i^t = A_i^0 \alpha^t$，响度随迭代指数衰减。

其物理意义：蝙蝠接近目标时逐渐降低响度以减少能量消耗、避免 overwhelming 自己的感知。其数学意义：局部搜索的半径随时间指数收缩，这正是”粗定位 → 精定位”两阶段搜索的实现。

3.4.2 脉冲发射率的上升

\[r_i^{t+1} = r_i^0 \left[ 1 - e^{-\gamma t} \right]\]

    其中 $r_i^0 \in [0, 1]$ 是初始脉冲率，$\gamma > 0$ 是脉冲率增长常数。

这个公式的性质。当 $t \to \infty$ 时：

\[r_i^{t+1} \to r_i^0\]

即脉冲率从 0 单调上升到 $r_i^0$。

物理意义：蝙蝠在远处时发出大量脉冲以扫描（低脉冲率 = 少量脉冲？不——注意这里的方向）。实际上 Yang 的解释是：脉冲率随时间增加，表示蝙蝠对目标的”专注度”提升——一旦锁定目标，就不断在该区域附近做精细探测（更多次局部搜索）。

数学意义：$r_i$ 控制局部搜索的触发频率。

  • 前期 $r_i \approx 0$：几乎不触发局部搜索，蝙蝠主要做全局位置的跳跃式运动；
  • 后期 $r_i \to r_i^0$：频繁触发局部搜索，做精细的局部优化。

与响度的配合。两者形成一对精妙的互补：

时期响度 $A^t$脉冲率 $r^t$行为
早期大小大范围跳跃 + 很少局部精调 → 全局探索
后期小大微小扰动 + 频繁局部精调 → 局部开发

这正是回声定位的物理过程：远距离时用大范围扫描（低精度），接近后用密集的高精度探测。

3.4.3 $\gamma$ 的选择

$\gamma$ 控制脉冲率上升的快慢。$\gamma$ 大 → 脉冲率很快达到 $r_i^0$；$\gamma$ 小 → 缓慢上升。

工程上常用的做法是按最大迭代次数归一化，使 $r_i$ 在算法结束时恰好达到 $r_i^0$：

\[r_i^{t+1} = r_i^0 \left[ 1 - e^{-\gamma t} \right], \qquad \gamma = -\ln(\varepsilon) / T\]

其中 $T$ 是最大迭代次数，$\varepsilon$ 是一个小常数（如 0.01）。

3.5 贪心选择

与 PSO、DE 不同，BA 使用严格的贪心一对一选择：

\[\mathbf{x}_i^{t+1} \leftarrow \begin{cases} \mathbf{x}_{new}, & \text{若 } f(\mathbf{x}_{new}) < f\left(\mathbf{x}_i^{t}\right) \\ \mathbf{x}_i^{t}, & \text{否则} \end{cases}\]

    这保证了最优适应度单调不增。同时，响度与脉冲率无论是否被接受都会更新——这一点很重要，它保证了自适应机制的持续推进。

3.6 算法流程

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输入：蝙蝠数 N，频率范围 [f_min, f_max]，初始响度 A_0，响度衰减 α，
      初始脉冲率 r_0，脉冲率增长 γ，最大迭代次数 MaxIter
输出：全局最优解 x_best

1.  初始化：在可行域内随机生成 N 个蝙蝠的位置 x_i
2.          随机初始化速度 v_i
3.          A_i ← A_0 (对所有 i)，r_i ← r_0 (对所有 i)
4.          计算 f(x_i)，记录 x_best
5.
6.  for t = 1 to MaxIter do
7.      ── 频率更新（每只蝙蝠独立重采样）──
8.      for i = 1 to N do
9.          f_i ← f_min + (f_max - f_min)·U(0,1)
10.         v_i ← v_i + (x_i - x_best)·f_i
11.         x_new ← x_i + v_i
12.         边界处理（反射）
13.
14.         ── 局部搜索 ──
15.         if rand() < r_i then
16.             x_new ← x_best + A_i·U(-1,1)^D      # 融合局部搜索
17.         end if
18.
19.         ── 贪心选择 ──
20.         if f(x_new) < f(x_i) then x_i ← x_new
21.
22.         ── 参数自适应 ──
23.         A_i ← α·A_i
24.         r_i ← r_0·(1 - exp(-γ·t))
25.     end for
26.
27.     ── 更新全局最优 ──
28.     若某个 x_i 优于 x_best，则 x_best ← x_i
29. end for
30. 返回 x_best

每代的评估次数：$N$（每只蝙蝠一次评价）。

4. 参数选取

参数符号推荐取值说明
种群规模$N$$10 \sim 50$（约 $5D$）Yang 建议 $N \approx 5D$
频率范围$f_{\min}, f_{\max}$$0, 1$固定即可
初始响度$A_0$$1.0$固定即可
响度衰减$\alpha$$0.9 \sim 0.99$越大收缩越快
初始脉冲率$r_0$$0.1 \sim 0.9$局部搜索的最终频率
脉冲增长$\gamma$$0 \sim 10$（或按 §3.4.3 归一化） 
最大迭代$MaxIter$$100 \sim 1000$ 

4.1 参数敏感性的实验结论

Yang 在 10 个基准函数上做了系统的参数敏感性实验12，结论如下： $\alpha$（响度衰减）最敏感，且呈现”倒 U 形”：

  • $\alpha$ 太小（如 0.5）：响度衰减过快，后期扰动不足，收敛精度差；
  • $\alpha$ 太大（如 1.0）：响度不衰减，算法始终保持高随机性，无法精细收敛；
  • $\alpha = 0.9$ 被推荐为通用取值。

$r_0$（脉冲率）影响相对温和，取值 $0.5 \sim 0.9$ 均可。

$f_{\max}$ 通常设为 1 即可，因为它与 $A$ 的作用重叠。

4.2 参数冗余性分析

BA 的参数看似多，但功能上有明显的冗余：

  • $f_{\min}, f_{\max}$ 与 $A_0$ 都在控制”步长尺度”；
  • $\alpha$ 与 $\gamma$ 都在控制”从粗到细的转换速度”。

Yang 自己在后来的工作中也承认这一冗余，并提出把 $\alpha$ 与 $\gamma$ 关联起来以减少自由度。

5. 数学性质分析

5.1 局部搜索的收缩性

局部搜索的更新为：

\[\mathbf{x}_i^{t+1} = \mathbf{x}_{best}^{t} + A^t \boldsymbol{\epsilon}_i\]

其中 $A^t = A^0 \alpha^t$。因此单次局部搜索的最大偏离 gbest 的距离为：

\[\lVert \mathbf{x}_i^{t+1} - \mathbf{x}_{best}^t \rVert \leq \sqrt{D} \cdot A^0 \alpha^t\]

随时间指数衰减。这保证了算法的最终精度——虽然收敛速度慢，但精度有保证。这与 PSO 的”在 gbest 附近持续震荡”形成鲜明对比。

5.2 全局探索能力

主循环的位置更新（忽略边界处理）为：

\[\mathbf{x}_i^{t+1} = \mathbf{x}_i^t + \mathbf{v}_i^t + f_i^{t+1} \left( \mathbf{x}_i^t - \mathbf{x}_{best}^t \right)\]

记 $\mathbf{d}i^t = \mathbf{x}_i^t - \mathbf{x}{best}^t$（相对 gbest 的向量），则：

\[\mathbf{d}_i^{t+1} \approx \left( 1 + f_i^{t+1} \right) \mathbf{d}_i^t + \mathbf{v}_i^t\]

系数 $(1 + f_i^{t+1})$ 是一个”扩张因子”。当 $f_i \in (0, 1)$ 时，$1 + f_i \in (1, 2)$，蝙蝠相对 gbest 的距离每代扩大 $1 \sim 2$ 倍。这说明 BA 在主循环阶段是发散式的——蝙蝠会散开到越来越大的范围，这正是它的全局探索机制。

与 PSO 的对比。PSO 中相对 gbest 的距离是收缩的（系数 $1 - c_2 r_2 < 1$），所以 PSO 群体会向 gbest 聚拢。BA 则是扩张的！这是 BA 多峰能力的一个来源。

但要注意，这个发散不能无限持续，因为：

  1. 边界处理会阻止蝙蝠跑出可行域；
  2. 频率每代重新采样，$f_i$ 有时接近 0，此时几乎不扩张；
  3. 局部搜索会周期性地把蝙蝠拉回 gbest 附近。

因此 BA 的宏观行为是”周期性发散 + 间歇性回归“，形成一种”探测-返回”的节律。这与回声定位的物理行为高度一致。

5.3 早熟倾向分析

BA 的早熟倾向低于 PSO，原因是：

  1. 频率的个体随机性：不同蝙蝠有不同的尺度，避免了所有个体同步收敛；
  2. 主循环的扩张性：群体本身不会聚拢成一个点；
  3. 局部搜索的触发是概率性的：不是所有个体同时精调。

但 BA 的早熟倾向高于 DE，因为：

  1. BA 只有 gbest 一个引导点，没有 DE 的差分向量（后者利用了整个种群的分布结构）；
  2. BA 没有 pbest 记忆，无法利用个体自身的历史经验。

6. 变体与改进方向

变体核心改进
BA with Lévy flights用莱维飞行增强全局探索
BA with Opposite-based learning反向学习初始化
BA with Differential Evolution用 DE 的差分变异替换速度更新
Adaptive BA (ABA)$\alpha$、$\gamma$ 随适应度改善自适应
BA with Chaotic map用混沌序列替代随机数
Memetic BA叠加局部搜索
Multi-objective BA (MOBA)用帕累托支配替代单目标比较
BA with Hybrid Differential Evolution双种群 + DE 算子
Improved BA (IBA)自适应频率范围 + 变异

6.1 几个重要改进的数学细节

6.1.1 自适应频率范围

原始 BA 的频率范围 $[f_{\min}, f_{\max}]$ 是固定的。改进思路是让它随搜索进程收缩：

\[f_{\max}^{t} = f_{\max}^{0} \cdot \left( 1 - \frac{t}{T} \right), \qquad f_{\min}^{t} = 0\]

这相当于把”全局探索”与”局部开发”的切换从概率层面（随机采样）转移到确定层面（区间收缩），提高了可控性。

6.1.2 带莱维飞行的 BA

把主循环的更新替换为：

\[\mathbf{x}_i^{t+1} = \mathbf{x}_i^t + \mathbf{v}_i^t + \alpha \cdot L(\beta) \cdot \left( \mathbf{x}_i^t - \mathbf{x}_{best}^t \right)\]

其中 $L(\beta)$ 是莱维随机向量。这让 BA 同时具备”重尾跳跃”与”向 gbest 聚拢”的能力。

6.1.3 BA 与 DE 的混合

用 DE/rand/1 的差分变异替换 BA 的速度更新：

\[\mathbf{v}_i^{t+1} = \mathbf{x}_{r_1} + F \left( \mathbf{x}_{r_2} - \mathbf{x}_{r_3} \right)\]

这样 BA 就同时获得了 DE 的”种群差分方向”能力。Yang 在其专著中给出的对比实验表明，这类混合在许多问题上优于纯 BA3。

    把 BA 放在整个智能优化版图中看，可以发现它与 FA4、GWO5、ABC6、HHO7 共享着相近的方法论——都是用少数几个有明确物理含义的标量参数来编码”探索-开发”的连续谱。Gandomi 等人关于混合变量结构优化的综述性工作8 与 Yang 的 FA 聚类研究9 则展示了这类算法在具体工程问题上的应用方式。

7. 应用场景

    BA 的应用分布较为广泛：

  1. 工程设计优化：约束优化、结构设计、机械设计。
  2. 神经网络训练：权重优化、模型结构搜索。
  3. 数据挖掘：特征选择、聚类（BA 聚类中以聚类中心为决策变量）。
  4. 图像处理：图像分割、阈值优化、图像加密。
  5. 路径规划：机器人路径规划、无人机航迹规划。
  6. 调度问题：柔性作业车间调度、随机作业车间调度。
  7. 参数估计与系统辨识：非线性系统参数辨识。
  8. 电力系统：经济调度、负荷预测。
  9. 通信：认知网络的功率分配、信道选择。
  10. 金融：投资组合优化。

7.1 BA 聚类（BA-K-means）

BA 用于聚类的建模方式与 FA 聚类类似：决策变量是 $K$ 个聚类中心，目标是簇内平方和。Yang 指出 BA 在聚类上的优势是受局部最优的影响较小，因为主循环的”扩张”特性使个体不容易全部困在同一处。

8. 与相关算法的比较

维度BAPSODEABCFA
记忆无（仅 gbest）pbest + gbest无蜜源亮度
方向来源$(x_i - x_{best}) f_i$pbest + gbest种群差分另一蜜源更亮个体
尺度控制频率（个体随机重采样）惯性权重（全局递减）$F$（外生）种群距离$\beta(r)$（距离相关）
局部搜索有（概率 $r_i$ 触发，范围 $A^t$）无无无无（随机项）
收敛精度好（指数收缩的局部搜索）一般一般一般一般
多峰能力良（主循环扩张性）中良中优
参数数量5~63214
实现难度低极低低低低
每代评估数$N$$N$$N$$2N$$N$

8.1 选择建议

  • 需要多峰能力 + 较好的收敛精度：BA 是一个折中的好选择；
  • 高维问题：DE 或 CMA-ES 明显更强；
  • 追求最简实现：PSO；
  • 工程应用与理论性兼顾：DE。

9. 小结

    蝙蝠算法的贡献是给出了一个“三参数协同自适应”的优雅模型。它把回声定位的三个物理机制精确映射为三个控制量：

  1. 频率控制搜索尺度，且通过”个体独立重采样”实现了种群内的尺度多样性；
  2. 响度控制局部搜索的半径，通过指数衰减保证最终精度；
  3. 脉冲率控制局部搜索的触发频率，通过单调上升实现”先探索后开发”。

    BA 最值得学习的思想是“用概率机制代替确定性调度”。PSO 用一条单调递减的曲线统一调度全种群；BA 让每个个体的尺度独立随机，因而种群中始终同时存在”粗搜”与”细搜”的个体。这种”个体化”的随机性正是 BA 多峰能力与低早熟倾向的来源。

    另一个值得玩味的现象是 BA 主循环的发散性：相对 gbest 的距离以 $1+f_i$ 的因子扩张，这与 PSO 的收缩行为形成鲜明对比。理解这一点，就能明白为什么 BA 不像 PSO 那样”缩成一团”——它依赖的不是向心的收缩，而是”扩散 + 间歇性回归”的动态平衡。

参考文献

  1. Yang, X.S. (2010). “A new metaheuristic bat-inspired algorithm”. In Nature Inspired Cooperative Strategies for Optimization (NICSO 2010), Lecture Notes in Computer Science, Vol. 6455, Springer, pp. 65-74. ↩︎ ↩︎2

  2. Yang, X.S. (2014). Nature-Inspired Algorithms: From Mating Mechanisms to Swarm Optimization. Vol. 5 of Natural Computing Series. Springer. ↩︎ ↩︎2

  3. Yang, X.S. (2019). Bat Algorithm. In Nature-Inspired Algorithms. Springer, pp. 33-47. ↩︎ ↩︎2

  4. Fister, I., Fister, D. & Yang, X.S. (2013). “A comprehensive review of firefly algorithms”. Swarm and Evolutionary Computation, 13, 34-46. ↩︎

  5. Mirjalili, S., Mirjalili, S.M. & Lewis, A. (2014). “Grey Wolf Optimizer”. Advances in Engineering Software, 69, 46-61. ↩︎

  6. Karaboga, D. & Basturk, B. (2007). “A powerful and efficient algorithm for numerical function optimization: artificial bee colony (ABC) algorithm”. Journal of Global Optimization, 39(3), 459-471. ↩︎

  7. Heidari, A.A., Mirjalili, S., Faris, H., Aljarah, I., Mafarja, M. & Chen, H. (2019). “HHO: Harris hawks optimization”. Future Generation Computer Systems, 97, 849-872. ↩︎

  8. Gandomi, A.H., Yang, X.-S. & Alavi, A.H. (2013). “Mixed variable structural optimization using Firefly Algorithm”. Computers & Structures, 125, 175-186. ↩︎

  9. Yang, X.-S. (2010). “Firefly algorithm for clustering analysis”. In 2010 IEEE Congress on Evolutionary Computation (CEC), Krakow, Poland, pp. 1-8. ↩︎

智能计算
蝙蝠算法 BA 群智能 优化算法
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