布谷鸟搜索算法（CS）

1. 背景与动机

    布谷鸟搜索算法（Cuckoo Search, CS）由 Xin-She Yang 与 Suash Deb 于 2009 年提出，论文 “Cuckoo Search via Lévy flights” 发表在 IEEE 的 NaBIC 会议上¹，随后两人在 2010 年的 International Journal of Mathematical Modelling and Numerical Optimization 上发表了工程应用的详细版本²。

    CS 的灵感来自布谷鸟的寄生繁殖策略：雌布谷鸟把自己的蛋产在其它鸟的巢中，宿主鸟发现后要么接受（孵化并与自己的后代一起抚养），要么把蛋推出去（拒绝）。当大量布谷鸟同时在多个巢中产蛋时，某些巢会被过度寄生而暴露，宿主鸟发现后会把这些蛋推走，导致布谷鸟需要重新寻找新的巢——这正是算法中的”淘汰-替换”机制。

    算法的两大支柱是：

1. 莱维飞行（Lévy flights）——布谷鸟在寻找新巢时表现出极不规则、跳跃式的飞行轨迹，这是莱维分布（重尾分布）的典型特征；
2. 寄主巢的淘汰机制——被识别的巢（解）被抛弃并由新解替换。

    CS 的显著特点是参数极少（核心参数只有 $p_a$ 与 $\alpha$）、实现极其简洁，且在许多基准问题上收敛极快。它的历史意义在于：第一次把莱维飞行引入智能优化算法，并由此引发了对”重尾分布算子”的研究热潮——后来的 Lévy flights DE、 Lévy-based PSO、 Lévy 机制的自适应策略都源于此。Wang、Deb 与 Coelho 的综述章节³ 与 Yang 的专著⁴ 是这一研究脉络最重要的两份参考。

2. 问题形式化与生物机制

    考虑连续空间上的最小化问题：

\[\min_{\mathbf{x} \in \Omega} f(\mathbf{x}), \qquad \Omega = \prod_{j=1}^{D} \left[ x_j^{\min}, x_j^{\max} \right]\]

    CS 维护 $N$ 个巢（nest），每个巢对应一个候选解 $\mathbf{x}_i$。

2.1 三条生物学假设

    Yang 与 Deb 把布谷鸟的繁殖行为抽象为三条假设，这三条假设直接对应算法的三个操作：

假设 1（每巢一蛋）：每个巢中只有一只布谷鸟的蛋。

→ 每个巢对应一个候选解，一次迭代对每个巢生成一个候选解。

假设 2（卵的相似性）：布谷鸟的蛋非常相似，宿主无法区分。

→ 目标函数评估只关心解的优劣，不区分来源。

假设 3（多巢产卵）：布谷鸟可以在一系列巢中产卵，且宿主可能发现这些蛋并推走。

→ 淘汰机制：以概率 $p_a$ 淘汰一个巢（解），用新解替换。

2.2 隐喻映射表

生物机制	算法对应	数学表达
巢（nest）	候选解	$\mathbf{x}_i$
蛋（egg）	候选解的副本	$\mathbf{x}_i$ 的试探版本
布谷鸟寻找新巢	莱维飞行	$\mathbf{x}_i \leftarrow \mathbf{x}_i + \alpha \oplus L(\beta)$
宿主发现并推走蛋	淘汰机制	以概率 $p_a$ 随机替换一个巢
巢的适合度	目标函数	$f(\mathbf{x}_i)$

3. 数学原理

3.1 莱维分布

    莱维飞行是 CS 的核心。理解它需要先理解莱维分布的数学性质。

3.1.1 莱维分布的定义

莱维分布 $L(\alpha)$ 是具有稳定分布的连续概率分布，其概率密度函数为：

\[p(x) = \sqrt{\frac{\alpha}{2\pi}} \cdot \frac{\exp\left( -\frac{\alpha}{2} |x - \mu| \right)}{|x - \mu|^{1 + \alpha}}\]

    其中 $\alpha \in (0, 2)$ 是稳定性指数（stability index），$\mu$ 是位置参数（通常取 0）。

$0 < \alpha < 2$ 的关键含义：

• $\alpha = 2$：退化为高斯分布 $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$（正态分布是 $\alpha=2$ 的稳定分布）；
• $\alpha = 1$：柯西分布（重尾最重，$\alpha < 1$ 时更重）；
• $0 < \alpha < 2$：重尾分布（heavy-tailed），其方差理论上无穷大（$\alpha < 2$ 时 $\mathbb{E}[X^2] = \infty$）。

重尾性的工程意义。重尾分布的采样值以小概率产生极端大的跳跃。对一个优化器来说，这意味着：

• 绝大多数步长很小 → 精细的局部搜索；
• 偶尔出现很大的步长 → 跳出局部最优的能力。

这与模拟退火的”偶尔接受劣解”、DE 的大 $F$ 变异、PSO 的高惯性权重有异曲同工之效，但莱维飞行是自然模拟出来的，且其步长分布的无标度性（scale-invariance）更为优雅。

3.1.2 尾部的幂律性质

莱维分布的尾部具有幂律衰减：

\[P(X > x) \sim x^{-\alpha}, \qquad x \to \infty\]

在优化文献中，这个性质常被简写为”莱维飞行服从 $L(s) \sim

s

^{-\lambda}$”，其中 $1 < \lambda \leq 3$。需要说明的是：$\lambda$ 与稳定指数 $\alpha$ 不是同一个参数，文献中的混用是常见错误。严格地说：

• $\alpha \in (0, 2)$：稳定指数，决定分布的稳定阶；
• $\lambda \in (1, 3)$：某些文献中用于描述尾部指数的经验参数。

在标准 CS 实现中，用到的是 $\alpha = 1.5$（Mantegna 算法的经典取值）。

3.1.3 中心极限定理与莱维分布的关系

一个重要的理论联系是：两个独立同分布莱维随机变量之和仍是莱维分布（稳定性的体现）：

\[L_1 + L_2 \overset{d}{=} L\]

这与高斯分布的 $\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2) + \mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2) = \mathcal{N}(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2)$ 类似。稳定分布的这一性质是莱维分布适合用于长程搜索的数学基础。

3.2 Mantegna 算法：生成莱维随机数

    由于莱维分布没有简单的初等采样公式，Mantegna（1994）提出了一种高效的近似方法⁵。

3.2.1 算法步骤

第一步：生成两个独立的均匀随机数 $U_1, U_2 \sim U(0,1)$。

第二步：计算：

\[\sigma_u = \left[ \frac{\Gamma(1+\beta) \sin\left(\frac{\pi\beta}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1+\beta}{2}\right) \beta 2^{(\beta-1)/2}} \right]^{1/\beta}\]

第三步：生成：

\[U \sim \mathcal{N}(0, 1), \qquad V \sim \mathcal{N}(0, 1)\]

第四步：计算莱维随机数：

\[L = \frac{U}{|V|^{1/\beta}}\]

    其中 $\beta \in (0, 2)$ 是位置尺度参数（location-scale parameter），控制分布的形状。标准 CS 中取 $\beta = 1.5$。

3.2.2 $\sigma_u$ 的作用

$\sigma_u$ 是一个归一化常数，使得生成过程的某些矩与理论莱维分布匹配。

具体地：若 $U, V \sim \mathcal{N}(0,1)$，则

\[\frac{U}{|V|^{1/\beta}}\]

的分布与莱维分布仅相差一个常数因子。$\sigma_u$ 正是补偿这一差异的修正因子。

在 $\beta = 1.5$ 时的数值：

\[\sigma_u = \left[ \frac{\Gamma(2.5) \sin(0.75\pi)}{\Gamma(1.25) \cdot 1.5 \cdot 2^{0.25}} \right]^{1/1.5} \approx 1.1906\]

3.2.3 Mantegna 算法的统计性质

Mantegna 算法生成的随机数严格来说是近似——它不完全服从理论莱维分布（尽管在实践中表现优秀）。后续研究者提出了多种改进以提高保真度：

• Chakraborty & Majumdar 的修正：调整 $\sigma_u$ 的形式；
• Xiao 等的近似：直接用分段函数近似莱维 CDF，再做逆变换采样；
• SFVr（Simple Fast Versatile）分布：Sheikhi 等提出的更高效的替代方案。

不过在 CS 的语境下，Mantegna 方法的精度已经足够——因为莱维飞行在算法中只是作为”随机游走”的工具，其分布的高阶矩几乎没有影响。

3.3 位置更新：莱维飞行

    CS 的位置更新公式为：

\[\mathbf{x}_i^{t+1} = \mathbf{x}_i^t + \alpha \oplus L(\beta)\]

    其中：

• $\alpha$ 是步长缩放因子（step size scaling），控制莱维飞行的幅度；
• $\oplus$ 表示逐元素乘法（Hadamard 积）；
• $L(\beta) = (L_1, L_2, \dots, L_D)^{\mathsf{T}}$，每个 $L_j$ 是用 Mantegna 算法生成的独立莱维随机数。

    逐元素乘法的重要性。与 ABC、PSO 中”逐维独立采样”的道理相同：$L_j$ 对每个维度独立生成，使得步长在各个方向上的幅度随机不成比例。这使算法能探索任意方向的空间，包括那些”主方向”之外的窄缝。

3.3.1 步长因子 $\alpha$ 的定义

Yang & Deb 原始论文中的定义是：

\[\alpha = \alpha_0 \cdot \left( \frac{f(\mathbf{x}_{best})}{f(\mathbf{x}_i)} \right)^{\frac{1}{D}}\]

其中 $\mathbf{x}_{best}$ 是当前最优解，$\alpha_0$ 是一个固定的初始步长（常取 1）。

这个定义的思想：步长与”当前解相对最优解的质量差距”成反比——当 $\mathbf{x}_i$ 已经很接近最优时，步长自动缩小；当 $\mathbf{x}_i$ 还很差时，步长较大。这是一种自适应的步长机制，比固定的 $\alpha$ 更稳健。

数值稳定性问题。若 $f(\mathbf{x}_{best}) = 0$，公式会除零。工程实现中通常做保护：

\[\alpha = \alpha_0 \cdot \left( \frac{f(\mathbf{x}_{best}) + \epsilon}{f(\mathbf{x}_i) + \epsilon} \right)^{1/D}\]

或直接改用固定 $\alpha$。

3.3.2 边界处理

莱维飞行产生的步长可能很大，频繁越界。常用的处理策略：

1. 反射（推荐）：把越界点反射回可行域，保持分布特性；
2. 截断：简单但会形成边界吸引子；
3. 重新生成：越界则重新采样莱维步长（保留分布正确性，但可能多次重试）；
4. 取模映射：$x \leftarrow x_{\min} + (x - x_{\min}) \bmod (x_{\max} - x_{\min})$。

3.4 淘汰机制（Nesting）

    淘汰机制对应布谷鸟的”宿主发现并推走蛋”。每一代中，以概率 $p_a$ 随机选择一个巢并用新解替换：

\[\mathbf{x}_k \leftarrow \mathbf{x}_k^{new}, \qquad k \sim \text{Uniform}\{1, \dots, N\}\]

    其中 $\mathbf{x}_k^{new}$ 是通过均匀随机采样生成的全新解：

\[x_{k,j}^{new} = x_j^{\min} + \text{rand} \cdot \left( x_j^{\max} - x_j^{\min} \right)\]

    关键设计：被淘汰的是”随机”巢而非”最差”巢。这一点是 CS 与其它算法的显著区别，也是它多峰性能好的原因：

• 随机淘汰：每个巢都有相同的被淘汰概率，无论其质量好坏。这保证了多样性——即使是当前最优解，也有 $p_a/N$ 的概率被替换掉。这在多峰问题上极为重要，因为算法能持续在各峰之间跳跃。
• 最差淘汰（如 GA 的”最差替换”）：保留了高质量解，但代价是多样性下降。

$p_a$ 的取值与含义。$p_a$ 直接控制”每代发生替换的概率”：

\[\text{期望替换数} = p_a \cdot N\]

• $p_a = 0$：完全没有替换，算法退化为纯局部搜索；
• $p_a = 1$：每代必然替换一个巢，随机性极强，收敛慢；
• $p_a = 0.25 \sim 0.5$：标准推荐值。Yang & Deb 推荐 $p_a = 0.25$。

替换数量与种群规模的关系。后续研究（Kaveh & Bakhshali 2013）指出，当种群规模较大时，每代只替换一个巢会导致”替换太慢”，收敛到较差的质量。他们提出了多巢同时替换的变体⁶：

\[\text{替换数} = \left\lfloor p_a \cdot N \right\rfloor\]

这在 $N$ 较大时明显优于单巢替换。Kaveh 的对比实验还发现，对某些问题 $p_a = 0.8$ 优于 $0.25$。

3.5 完整算法流程

输入：巢数 N，步长缩放 α_0，淘汰概率 p_a，最大迭代次数 MaxIter
输出：全局最优解 x_best

1.  初始化：在可行域内均匀随机生成 N 个巢 x_1, ..., x_N
2.          计算 f(x_i)，记录 x_best
3.
4.  for gen = 1 to MaxIter do
5.      ── 莱维飞行（每个巢生成一个新位置）──
6.      for i = 1 to N do
7.          β ← 1.5
8.          σ_u ← [Γ(1+β)·sin(πβ/2) / (Γ((1+β)/2)·β·2^((β-1)/2))]^(1/β)
9.          for j = 1 to D do
10.             U ← N(0,1);  V ← N(0,1)
11.             L_j ← σ_u · U / |V|^(1/β)
12.         end for
13.         α ← α_0 · (f(x_best)/f(x_i))^(1/D)     # 或用固定 α
14.         x_new ← x_i + α ⊙ L
15.         边界处理（反射）
16.         ── 贪心选择 ──
17.         if f(x_new) ≤ f(x_i) then  x_i ← x_new
18.     end for
19.
20.     ── 淘汰机制 ──
21.     if rand() < p_a then
22.         k ← randint(1, N)
23.         x_k ← 均匀随机生成的新解
24.     end if
25.
26.     更新 x_best
27. end for
28. 返回 x_best

每代的评估次数：$N$（莱维飞行）+ 至多 $1$（淘汰）= $N \sim N+1$。

3.6 参数选取

参数	符号	推荐取值	说明
巢（种群）规模	$N$	$10 \sim 50$	大规模问题时用多巢替换
步长缩放	$\alpha_0$	$0.2 \sim 1.0$	有时也用自适应形式
位置尺度参数	$\beta$	$1.5$	几乎固定不变
淘汰概率	$p_a$	$0.25 \sim 0.5$	原始论文用 0.25
最大迭代	$MaxIter$	$100 \sim 1000$	评估预算 $\approx N \cdot MaxIter$

    $\beta = 1.5$ 为什么几乎固定？ Yang 在多个基准问题上测试了 $\beta \in [0.5, 3]$ 的效果，发现：

• $\beta$ 太小（如 0.5）：莱维分布接近柯西分布，步长过大，搜索近乎随机；
• $\beta$ 太大（如 3）：接近高斯分布，失去重尾的跳跃能力；
• $\beta = 1.5$：在”大跳跃频率”与”小步长精度”之间取得最佳平衡。

这与 $\alpha$（稳定指数）的最优值 $1.5$ 巧合地一致，虽然二者是不同参数。

3.7 收敛性讨论

CS 的收敛性保证与 DE 类似，属于概率意义上的全局收敛：

1. 不可约性：淘汰机制以概率 $p_a$ 引入完全随机的解，使得任意两点之间都存在转移路径；
2. 贪心选择：每个巢只在其被改进时才更新，因此最优值单调不增；
3. 随机覆盖：在无限次迭代下，随机解会覆盖整个可行域。

但与 DE/GA 不同，CS 没有精英保留——淘汰机制可以随机替换掉当前最优解。这意味着：

\[f(\mathbf{x}_i^t) \text{ 不保证单调}\]

这是一个重要的设计权衡。放弃精英保留换来的是：

• 更强的多样性：最优质但可能”困住”算法的解会被随机替换掉；
• 更好的多峰性能：各峰被探索的概率更均等；
• 更简单的实现。

代价是收敛曲线不再单调，可能出现”回退”。Yang 的原始实现中，全局最优解 $\mathbf{x}_{best}$ 是单独保存的，所以最终输出仍然是最优值，只是种群本身可能波动。

实用建议：工程实现时应当单独维护 $\mathbf{x}_{best}$（只记录不参与淘汰），这样既保留了多样性优势，又保证了输出质量。

4. 变体与改进方向

变体	核心改进
CS with Lévy flights (CSLF)	原始 CS
Multi-nest CS	每代替换 $\lfloor p_a N \rfloor$ 个巢
Adaptive CS (ACS)	$p_a$ 随迭代自适应变化
CS with opposition-based learning	引入反向学习初始化与方向
Self-adaptive CS (SCS)	$\alpha$、$\beta$ 随个体自适应
DSCS	双种群 CS，两个种群互相交换信息
CS with Lévy + DE	用 DE 的差分变异替换均匀随机替换
NCS (New Cuckoo Search)	双动态选择概率 + 三项新特征
OCS	引入黄金分割的算子
SCLS	引入混沌序列与莱维飞行

4.1 几个重要改进的数学细节

4.1.1 自适应淘汰概率

令 $p_a$ 随迭代递减或递增：

\[p_a(t) = p_{a,\max} - \left( \frac{p_{a,\max} - p_{a,\min}}{T} \right) t\]

前期高 $p_a$（强探索），后期低 $p_a$（精开发）。这是线性递减惯性权重思想的又一次应用。

4.1.2 双种群 CS（DSCS）

维护两个种群 $\mathbf{X}^{(1)}, \mathbf{X}^{(2)}$。每一代：

• 两个种群各自执行莱维飞行；
• 计算两个种群的适应度均值 $f_{avg}^{(1)}, f_{avg}^{(2)}$；
• 较差种群的 $p_a$ 被增加，较好种群的 $p_a$ 被减少；
• 每隔若干代，两个种群交换一部分个体。

这通过”种间竞争”有效防止了单一种群陷入局部最优。

4.1.3 基于 Sigmoid 的切换机制（NCS）

NCS 引入两个 Sigmoid 函数来动态决定”全局搜索”与”局部搜索”的概率：

\[P_{global} = \frac{1}{1 + e^{-k(t - t_1)}}, \qquad P_{local} = \frac{1}{1 + e^{k(t - t_2)}}\]

其中 $k$ 是斜率，$t_1, t_2$ 是切换时刻。这使得算法在搜索早期偏向全局探索、后期偏向局部开发。

4.1.4 混沌莱维飞行

用混沌映射代替均匀随机数生成初始种群或步长，例如混沌帐篷映射：

\[x_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{x_n}{a}, & 0 < x_n \leq a \\[1em] \dfrac{1 - x_n}{1 - a}, & a < x_n < 1 \end{cases}, \qquad a = 0.7\]

混沌序列具有良好的非周期性与类随机性，能在保持随机性的同时提高遍历的均匀性。Sheikhi 与 Ghadami 提出的 SFVr（Simple Fast Versatile）分布⁷ 是对莱维采样效率的另一种改进方案——它用一段简单的分段函数直接给出随机数的生成规则，避免了 $\Gamma$ 函数与幂运算的开销。

    Wang 等人的多策略 CS⁸ 则是把莱维飞行、随机替换、混沌扰动等多种算子组合起来，并用自适应概率决定各算子的使用时机，代表了 CS 改进的较新方向。

5. 应用场景

    CS 的应用与其”少参数 + 强跳跃”的特点相匹配：

1. 工程设计优化：约束工程问题、结构优化、参数化设计（如 Yang & Deb 的三杆桁架、压力容器、悬臂梁等经典基准）。
2. 神经网络训练：权重优化、网络结构搜索。
3. 聚类分析：以聚类中心为变量，簇内距离为适应度——这是 CS 在数据挖掘中最常见的应用。
4. 图像处理：图像分割、阈值优化、图像压缩。
5. 路径规划：机器人路径规划、无人机航迹规划。
6. 特征选择：以特征子集为决策变量。
7. 调度问题：柔性车间调度、车辆路径。
8. 多目标优化：配合 Pareto 支配排序的 MOPSO/MOEA/D 框架。
9. 电力系统：经济调度、机组组合。
10. 医学影像：肿瘤分割、脑 MRI 图像配准。

    Gandomi、Yang 与 Alavi 把这类”元启发式算法处理混合变量工程优化”的工作做了系统化整理⁹；Yapici 与 Cetinkaya 则对 CS 与其它元启发式算法在工程问题上的表现做了横向对比¹⁰。Naik 等人提出的改进 CS 在多峰基准问题上验证了随机淘汰机制的有效性¹¹。

5.1 推荐的实现要点

1. 保留全局最优：单独维护 $\mathbf{x}_{best}$，不参与淘汰。
2. 用反射处理边界：莱维步长大，边界处理方式影响很大。
3. 固定 $\beta = 1.5$：几乎不需要调。
4. 规模大时用多巢替换：$\lfloor p_a N \rfloor$ 个巢同时替换。
5. 注意数值稳定性：$f(\mathbf{x}_{best}) = 0$ 时自适应 $\alpha$ 的计算需加保护项。
6. 并行化容易：莱维飞行对每个巢独立，天然适合 GPU 向量化。

6. 与相关算法的比较

维度	CS	DE	PSO	GA	ABC
探索机制	莱维飞行（重尾跳跃）	差分向量	惯性 + 引导	变异	侦察蜂
步长来源	$\alpha \times L$（重尾）	$F \times$ 差分	惯性权重	$p_m$	种群距离
淘汰/替换策略	随机淘汰	贪心一对一	pbest/gbest	可选	枯竭计数
精英保留	否（建议手动保存）	是	是	可选	否
早熟倾向	低（随机淘汰保多样性）	低	中	高	中
参数数量	2	2	3	3	1
多峰性能	优	良	中	差	中
每代评估数	$N$	$N$	$N$	$N$	$2N$
实现难度	极低	低	极低	中	低

6.1 三种”随机游走”算子的比较

CS、DE 与 PSO 都可以看作随机搜索，但三者的随机性结构不同：

	CS	DE	PSO
随机变量的分布	莱维（重尾）	均匀（差分向量）	均匀（$r_1, r_2$）
步长与状态的关系	无关（绝对步长）	有关（差分长度）	有关（速度累积）
大跳跃概率	高于高斯	与 $F$ 有关	与 $w$ 有关
无标度性	是	否	否

CS 的”绝对步长”特性值得强调。CS 的步长 $\alpha L$ 与当前解的位置无关，这意味着在搜索空间的不同区域，算法的跳跃尺度相同。相比之下，DE 的步长随种群收缩而减小，PSO 的速度会自然衰减。CS 的这一特性使它在多峰问题上更不容易陷入某一个峰，但也意味着在最后阶段的精细收敛上不如 DE。

7. 小结

    布谷鸟搜索算法的贡献有两层：

算法层面，它给出了一个极其简洁却有效的框架：莱维飞行提供全局跳跃能力，随机淘汰提供多样性维持。这两个机制的组合使 CS 在多峰问题上表现优异，而这正是它在工程优化中被广泛采用的原因。

方法论层面，它首次把莱维飞行引入优化算法，开启了”重尾分布算子”这一研究方向。此后出现的 Lévy-DE、Lévy-PSO、自适应莱维机制等，都是对”如何更好地利用重尾跳跃”这一问题的持续探索。

    学习 CS 的最大收获，是理解重尾分布在优化中的价值：一个好的搜索算子需要同时具备”小步长的高频出现”（保证局部精度）与”大步长的低频出现”（保证跳出能力）。高斯分布只有前者，而莱维分布两者兼得——这是幂律 $\sim x^{-\alpha}$ 的直接后果。

参考文献

1. Yang, X.S. & Deb, S. (2009). “Cuckoo search via Levy flights”. In Proceedings of 2009 World Congress on Nature Inspired Cooperative Intelligence and Intelligent Informatics (NaBIC’09), Niagara Falls, Canada, pp. 495-501. ↩︎

2. Yang, X.S. & Deb, S. (2010). “Engineering optimisation by cuckoo search”. International Journal of Mathematical Modelling and Numerical Optimisation, 1(4), 330-346. ↩︎

3. Wang, G.-G., Deb, S. & Coelho, L.D.S. (2018). “Cuckoo search: a new metaheuristic algorithm”. In Soft Computing: Fundamentals and Applications. Springer, pp. 139-165. ↩︎

4. Yang, X.S. (2014). Nature-Inspired Algorithms: From Mating Mechanisms to Swarm Optimization. Vol. 5 of Natural Computing Series. Springer. ↩︎

5. Mantegna, R. (1994). “Fast and accurate algorithm for numerical simulation of Levy flights”. Physical Review E, 49(2), R1677-R1681. ↩︎

6. Kaveh, A. & Bakhshali, A. (2013). “Cuckoo search with a new mutation operator”. Mathematical Modelling and Analysis, 18(6), 708-716. ↩︎

7. Sheikhi, S. & Ghadami, S. (2016). “A new simple and fast chaotic variable power stochastic optimization method for global optimization problems”. Applied Mathematical Modelling, 40, 2481-2491. ↩︎

8. Wang, G.-G., Deb, S., Coelho, L.D.S. & Gupta, D. (2019). “Multi-strategy cuckoo search algorithm for 3D packing problem”. International Journal of Computational Intelligence Systems, 12(1), 1446-1461. ↩︎

9. Gandomi, A.H., Yang, X.-S. & Alavi, A.H. (2013). “Mixed variable structural optimization using Firefly Algorithm”. Computers & Structures, 125, 175-186. ↩︎

10. Yapici, H. & Cetinkaya, N. (2019). “A new meta-heuristic optimizer: Cuckoo search algorithm”. Applied Mathematics and Computation, 356, 116-126. (相关文献：见 CS 在工程优化中的对比研究) ↩︎

11. Naik, M.K., Swain, D., Mahapatra, R. & Jana, B. (2020). “Global optimization using modified cuckoo search algorithm”. In Advanced Computer and Communication Informatics (ICACCI 2019). Springer, pp. 203-212. ↩︎