1859 年 11 月，一个三十三岁的德国人向柏林科学院提交了一篇九页的论文。 论文里藏着一句话，那句话在此后一百六十多年里，让全世界最聪明的数学家睡不着觉。

这句话是：“非常可能，所有的根都是实的。”

---

一、一个在吕讷堡长大的孩子

1826 年 9 月 17 日，格奥尔格·弗里德里希·贝恩哈德·黎曼出生在汉诺威公国布雷泽伦茨镇，父亲是路德宗的一位牧师。

家里一共六个孩子，黎曼排行第二。父亲亲自教他读书识字，直到十岁。小黎曼很早就显露出算术方面的天赋，附近学校的老师舒尔茨注意到了这一点，开始给他提供远超年龄的读物——其中就包括勒让德 1830 年出版的那本《数论理论》。

这是一本九百页的鸿篇巨著。据记载，小黎曼花了六天读完它，然后说自己已经能背下来了。

1840 年，他进入汉诺威的文理中学；1842 年祖母去世后，他转到吕讷堡的约翰内姆中学。中学的数学教育很有限，数学书全是校长从自己书架上借给他的。而在正式开始接受数学训练之前，这已经是他能接触到的最好的数学读物了。

1846 年春，他进入哥廷根大学。最初选的是神学——父亲的期望——但他一边听数学课，一边请求父亲允许他转到哲学系去学数学。父亲同意了。

此时的哥廷根大学在数学上其实相当平庸。就连高斯这样的人物，当时也只开一些初级课程，并没有认出这个学生的天赋。只有莫里茨·施特恩看出来了，他后来回忆说，那时的黎曼“已经像金丝雀一样歌唱”。

二、柏林：遇到狄利克雷

1847 年春，黎曼转到柏林大学。这一次他赶上了好时候：雅可比、狄利克雷、施泰纳、艾森斯坦——那个时代德国数学的几乎全部精英都在那里。

其中对黎曼影响最大的是 狄利克雷。 Klein 后来写道：

黎曼与狄利克雷之间存在一种内在的强烈共鸣，两人思维方式相似。狄利克雷总喜欢在某种直觉的基础上把问题想清楚，随后给出敏锐的逻辑分析，并且尽可能避免冗长的计算。这种方式正适合黎曼，他采纳了狄利克雷的方法。

这段话几乎定义了黎曼的数学风格：先看透结构，再压缩计算。他后来最重要的几项工作几乎都是这个模式：先把对象的几何/结构性质想清楚，然后写出一篇短得惊人的论文。

在柏林，黎曼还系统地研究了复变函数论，这直接导致了他 1851 年的博士论文《复变函数一般理论基础》——论文引入了黎曼曲面，把拓扑方法带进了复分析。这一年他通过了博士考试。

高斯在评语里称这篇论文具有“辉煌的原创性”。

1854 年 6 月 10 日，黎曼在哥廷根作了他的资格讲演《论几何学所依据的假设》。这台讲演后来被视为数学史上的标志性时刻之一：他把空间推广到任意维数，定义了黎曼度量与曲率张量，并由此追问——我们所处的真实空间是几维的？它该由什么样的几何来描述？

全场只有高斯真正听懂了。据记载，高斯在会后向韦伯反复称道这篇讲演的思想深度：

在听众中，只有高斯能够领会黎曼思想的深度……这篇讲演远远超出了他所有的预期，令他极为惊讶。

这篇讲演比黎曼的黎曼猜想还要早五年，并且同样悬案至今：一般相对论后来为它提供了物理上的落点。而”用费马大定理式的直觉看几何”这件事，后人主要归功于黎曼——以及同样从几何直觉出发的雅可比、狄利克雷、费马。

三、1859：那篇九页的论文

1859 年 5 月，狄利克雷因心脏病去世。这个位置后来落到了黎曼头上。

1859 年 10 月 19 日，黎曼把论文寄给柏林科学院秘书约翰·恩克；11 月 3 日，库默在例会上宣读了它。论文题为《论给定数量以下的素数个数》（Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse），发表在 1859 年 11 月的柏林科学院月报上。

这是黎曼一生中唯一一篇数论论文。九页纸，里面包含了解析数论几乎全部的奠基性思想。

论文里他提出了五个断言：

编号	内容	今日状态
一	\(ζ(s)\) 在临界带内无穷多个零点	已证（哈达玛德，1893）
二	零点个数的渐近估计	已证（冯·芒戈尔特，1895）
三	\(ξ(s)\) 的无穷乘积展开	已证（哈达玛德，1893）
四	素数计数函数与零点的显式公式	已证（冯·芒戈尔特，1895）
五	所有零点都在直线 \(s = \frac{1}{2} + it\) 上	未解

前四条后来都被补上了严格证明。第五条至今无人证明，也无人证伪。

黎曼本人在论文中的原话是：

“非常可能，所有的根都是实的。当然，人们在这里会希望有一个严格的证明；我本人经过几次徒劳的尝试之后，暂时把对这个问题的探究搁置一旁了，因为在我当前的研究目标看来，它似乎是可以略去的。”

注意，他是在讨论一个经过变换的函数 \(Ξ(t)\)（今天记作 \(ξ(\frac{1}{2}+it)\)）——这个变换把临界线映射成了实轴，所以”根是实的”就等价于”零点的实部都是 \(1/2\)“。黎曼本人非常清楚这个猜测的分量，但当时他手上还没有后来才发展出来的那些工具。

四、黎曼做了什么才算数

要理解为什么这个猜想”很可能”成立，需要先看黎曼的核心工具。

1. 把素数藏进一个函数

欧拉在 1737 年给出了那个著名的等式：

\[ζ(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}} = \prod_{p}\left(1 - p^{-s}\right)^{-1}, \qquad \Re(s) > 1\]

左边是一个把所有正整数加起来的最朴素的和，右边却只对素数说话。把两边取对数再展开，就得到了一个关键等式：

\[\frac{\log ζ(s)}{s} = \sum_{p}\sum_{k \ge 1}\frac{1}{k\,p^{ks}}\]

对素数计数函数 \(\pi(x)\) 作对应的积分变换，就能得到

\[\frac{1}{s}\log ζ(s) = \int_{1}^{\infty}\frac{J(x)}{x^{s+1}}\,dx\]

其中 \(J(x)\) 是把素数按重数计入的计数函数，\(J(x) = \sum_{p^k \le x} \frac{1}{k}\)。

这一行式子就是桥梁：素数的分布被翻译成了一个复变函数的解析性质。

2. 让函数”能看”到整个复平面

黎曼问了一个当时没人问的问题：\(ζ(s)\) 原本只在 \(\Re(s) > 1\) 有定义，能不能把它搬到别处去？

他用两种办法做到了这一点：先是用分部积分与积分的解析延拓，证明

\[ζ(s) = \frac{1}{Γ(s)}\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x - 1}\,dx\]

这个积分对 \(\Re(s) > 0\) 有意义，且在 \(s = 1\) 处有唯一极点的暗示（被 \(\Gamma(s)\) 的行为吸收）；再通过围道积分（把积分路径挪到负半轴，途中绕过函数 \(1/(e^x-1)\) 在 \(x = \pm 2\pi i n\) 处的极点，留下的留数给出无穷级数），最终得到函数方程：

\[ζ(s) = 2^{s}\,\pi^{s-1}\,\sin\frac{\pi s}{2}\,\Gamma(1-s)\,ζ(1-s)\]

函数方程的意义在于：它把 \(s\) 平面上的信息在 \(s \leftrightarrow 1-s\) 之间对称地联系起来。而 \(\sin\frac{\pi s}{2}\) 这个因子，正是无穷多个平凡零点 \(s = -2, -4, -6, \dots\) 的来源。

3. 零点在哪里？——一个对称性论证

现在 \(ζ(s)\) 已经被搬到了整个复平面上（除了 \(s=1\) 处的一个极点），它的零点也就随之暴露出来。

由函数方程立刻可得两条对称性：

• 若 \(ρ\) 是零点，则 \(1-ρ\)、\(\bar{ρ}\)、\(1-\bar{ρ}\) 都是零点。
• 结合欧拉乘积可证：所有零点都落在临界带 \(0 < \Re(s) < 1\) 内。

于是零点成四元组地分布在临界带里，左右对称、上下对称。

但这远远不够。 一个常见误解是：”零点都关于直线 \(\Re(s)=1/2\) 对称，又都在临界带内，所以一定都在直线 \(\Re(s)=1/2\) 上。”这是错的——完全可以在直线两侧对称地撒下零点对，\(1/2\) 线上一个也没有。

黎曼之所以说”非常可能”，是因为他用另一个工具做了检验：把 \(ξ(s)\) 写成 傅里叶余弦变换的形式。

4. 关键一击：\(ξ(t)\) 的傅里叶变换

黎曼定义的函数（今天记作 \(\xi(s)\)）是

\[ξ(s) = \frac{1}{2}s(s-1)\,\pi^{-s/2}\,\Gamma\!\left(\frac{s}{2}\right)\,ζ(s)\]

它满足完美对称的函数方程 \(ξ(s) = ξ(1-s)\)，并且是整个函数（全纯，无极点），且只在实轴上为实。

关键是，黎曼还证明了这个函数可以写成

\[Ξ(t) = ξ\!\left(\frac{1}{2}+it\right) = 2\int_0^{\infty}\Phi(u)\cos(tu)\,du\]

其中

\[\Phi(u) = \sum_{n=1}^{\infty}\left(4\pi^{2}n^{4}e^{\frac{9}{2}u} - 6\pi n^{2}e^{\frac{5}{2}u}\right)\exp\!\left(-\pi n^{2}e^{2u}\right)\]

一个** rapidly decreasing（快速衰减）**的偶函数权重。

这一下把问题彻底换了个问法：

一个实的、快速衰减的偶函数的余弦变换，其零点会不会都是实的？

黎曼通过数值计算发现，\(Ξ(t)\) 的前若干个零点确实都是实的——这正是临界线上的那些零点。于是他作出了那个著名的推测。

这个视角的威力在于，它把”复数零点都在一条直线上”这个复杂问题，转化成了”一个特定积分变换的零点是否全为实数”这个更接近傅里叶分析直觉的问题。 后世无数试图证明黎曼猜想的努力，都在不同程度上沿着这条转化路线展开。

五、黎曼猜想为什么重要

黎曼猜想看似只是关于一个函数零点位置的技术性陈述，但它牵动的东西极其庞大。

1. 它控制着素数的误差项

黎曼的核心成果之一是显式公式（他称之为”最简公式”）。它把素数计数与 \(ζ\) 的零点直接挂钩：

\[J(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{a-\infty}^{a+\infty}\frac{x^{s}}{s}\cdot\frac{ζ'(s)}{ζ(s)}\,ds - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\pi^{2n}x^{2n}}{(2n)!\,(2n-1)}\]

其中 \(a > 1\)。它的核心思想是：素数分布的涨落，完全由零点的位置决定。

更实用的版本是 von Mangoldt 的公式：

\[\psi(x) = x - \sum_{\rho}\frac{x^{\rho}}{\rho} - \log(2\pi) - \frac{1}{2}\log(1 - x^{-2})\]

其中 \(\psi(x) = \sum_{n \le x}\Lambda(n)\)，而 \(\Lambda(n)\) 只在 \(n\) 是素数幂时非零，取值为 \(\log p\)。

由这条公式立刻得到：

假设	素数计数误差 \(\pi(x) - \operatorname{Li}(x)\)
无	\(O\!\left(x \exp\!\left(-c(\log x)^{3/5}(\log\log x)^{-1/5}\right)\right)\)
黎曼猜想	\(O\!\left(x^{1/2}\log x\right)\)

黎曼猜想的误差界要好得多。这就是为什么 Bombieri 在起草千禧年难题表述时说：

“黎曼猜想一旦失败，将给素数分布带来灾难性的混乱。”

2. 它是密码学的地基

RSA 加密的安全性直接依赖于”大数分解很难”这一事实。而大数分解的算法复杂度，又依赖于黎曼猜想成立与否——更准确地说，RH 成立时能保证的因数搜索上限更高。

有趣的是，这也带来一个战略启示：黎曼猜想为”造更强的密码”提供了理论依据。从密码学角度看，”RH 是真的”其实是个好消息。

3. 它把整类函数的问题统一了

黎曼猜想的推广——关于 Dirichlet \(L\) 函数与 Dedekind \(\zeta\) 函数的对应猜想——把整个数论景观串了起来。数学家 John Conway 曾给这类猜想起了个统称：Generalized Riemann Hypothesis（广义黎曼猜想）。

4. 它的地位

• 1900 年，希尔伯特把它列为 23 个未决问题之首。
• 2000 年，克莱数学研究所把它列为 7 个千禧年难题之首，悬赏 100 万美元。
• 至今仍是纯数学中最重要的未解问题。

六、170 年的攻关史

1914：Hardy 证明临界线上有无穷多个零点

Godfrey Harold Hardy 证明 \(ζ(s)\) 在临界线 \(\Re(s)=1/2\) 上有无穷多个零点。方法是对

\[Z(t) = e^{i\theta(t)}\zeta\!\left(\frac{1}{2}+it\right)\]

做符号变化的分析，其中 \(\theta(t) = \operatorname{Im}\log\Gamma\!\left(\frac{1}{4}+\frac{it}{2}\right) - \frac{t}{2}\log\pi\) 是精心选取的相位，使得 \(Z(t)\) 在实数 \(t\) 上取实值。

但这远远不够：Hardy 只证明了”有无穷多个”，没有证明”全部”。

1942：Selberg 证明”正比例”的零点在线上

Atle Selberg 引入光滑化因子（mollifier）这一关键工具，证明了

\[N_0(T) \gg T\log T\]

即临界线上的零点数与全部零点数之比有正的下界。这是第一次证明正比例的零点落在临界线上。

Selberg 的核心想法是：把 \(ζ(s)\) 乘上一个精心挑选的 Dirichlet 多项式（其系数取自 \(1/\sqrt{ζ(s)}\)），从而压制 \(ζ\) 的大值，使 Hardy–Littlewood 的零点计数方法中的不等式变得显著更紧。

此后的下限提升

年份	作者	结果
1974	Levinson	\(\kappa \ge 0.3474\)
1989	Conrey	\(\kappa \ge 0.4088\)
2011	Bui–Conrey–Young	\(\kappa \ge 0.4105\)

其中 \(\kappa = \liminf_{T\to\infty}\frac{N_0(T)}{N(T)}\)，\(N_0(T)\) 是临界线上零点数，\(N(T)\) 是全部非平凡零点数。

目前最好的结果仍是 41.05%——超过一半的零点仍未被证明在线上。

2024：Guth–Maynard 的突破

2024 年 5 月 31 日，Larry Guth 与 James Maynard 宣布了一个四十多年来该领域最重要的进展：一个新的零点密度估计

\[N(\sigma, T) \ll T^{\frac{30(1-\sigma)}{13}+o(1)}\]

改写了 Huxley 在 1955 年创下的、长期无人能破的 \(12/5\) 指数。他们的方法核心是对 Dirichlet 多项式的大值估计（large value estimates）作改进。

配套的成果是：区间内素数出现的长度下界被推进到 \(x^{17/30+o(1)}\)。

但需要清醒地看待这个结果：它没有改善 Vinogradov–Korobov 的零点自由区（zero-free region）——那一块自 1958 年以来几乎纹丝未动。陶哲轩指出，Guth–Maynard 的工作”有助于排除大量相当糟糕的违反 RH 的情形，但并没有在排除单个极其糟糕的违反上取得任何新进展”。

2026：AI 证明的”准黎曼猜想”

2026 年 10 月，OpenAI 公布了一批 AI 辅助的数学结果，其中最引人注目的是准黎曼猜想的证明——即把临界带收窄：

• 第一版（2026 年 9 月 30 日）：证明所有非平凡零点满足 \(\frac{1}{8} \le \Re(s) \le \frac{7}{8}\)，并用 Lean 做了形式化验证。
• 第二版（约一周后）：给出更弱但更简洁的界 \(\frac{1}{12} \le \Re(s) \le \frac{11}{12}\)。

数学界的评价是谨慎而正面的。Radziwiłł 表示：”这些专家大体同意结果是正确的——其新颖性在于把一些早已存在的数论想法以新的方式组合起来。”同时他也批评写作质量：”在我们这个领域，立刻会被任何数学期刊拒稿。”

Princeton 的 Peter Sarnak 则表示，在他完全理解所有细节之前，”在把它称为一个定理之前，我不会满意”。

请注意：这远不是黎曼猜想本身。 临界带依然宽得多。真正的黎曼猜想要求零点精确地落在 \(\Re(s) = 1/2\) 这一条线上。

数值验证

到目前最严格的验证是 Platt 与 Trudgian 的工作（2021 年），他们用区间算术（保证误差边界）验证了

\[3\,000\,175\,332\,800\]

以下的所有零点都在临界线上且都是单零点，一共涉及 12 363 153 437 138 个零点。

一百六十多年，几万亿个零点，无一例外。这份证据的分量，已经足以让绝大多数数学家相信猜想为真——但它终究不是证明。

七、一个过早的结束

黎曼的一生并不长。

1862 年 6 月，他与 Elise Koch 结婚，几个月后染上重感冒，转为肺结核。此后四年，他几乎一直待在意大利，以寻找更温暖的气候。1863 年 12 月，女儿 Ida 出生在比萨。

1866 年 6 月 16 日，他回到马焦雷湖畔的塞拉斯卡。6 月 20 日，他坐在一棵无花果树下，看着眼前壮丽的湖光山色——

Dedekind 后来写道：

他的力量迅速衰竭下去，他自己也清楚地感觉到大限将至。然而就在去世的前一天，坐在无花果树下休息时，他的灵魂因眼前壮丽的景色而充满了喜悦，他还在处理最后的著作——那部著作不幸未能完成。

一周后的 1866 年 7 月 20 日，黎曼在塞拉斯卡去世，距他四十岁生日还差不到八周。墓碑上刻着：

这里安息着上帝所爱的 格奥尔格·弗里德里希·贝恩哈德·黎曼 哥廷根大学教授 生于 1826 年 9 月 17 日布雷泽伦茨 卒于 1866 年 7 月 20 日塞拉斯卡

他留下的手稿中，包含了对质数分布最深刻的洞察。而他自己，连同那个猜想，都被留在了半途。

八、结语

一百六十多年来，数学家们用了勒让德、欧拉、高斯、狄利克雷、哈达玛德、冯·芒戈尔特、Hardy、Selberg、Conrey、Levinson、Bui、Maynard、Guth 一长串名字，以及复分析、傅里叶分析、随机矩阵、算子谱理论等几乎所有分析数学分支，去逼近那条直线。

这本身就是一个值得玩味的事实：

黎曼猜想的困难之处，不在于它的结论有多深，而在于它所要求的那个”整体性”——一个无穷多个点的集体位置，无法通过逐点检验得出。

一个你能验证任意多个零点的猜想，恰恰是最难用有限手段证明的那一类。

下一篇 《黎曼猜想发现过程（二）》 将进入数学原理部分：我们会从 \(ζ(s)\) 的解析延拓出发，完整推导函数方程、\(ξ\) 函数的 Hadamard 乘积展开、显式公式，并解释为什么”零点密度估计”这条主线如此难以推进。

参考文献

• Riemann, B. (1859). Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse. Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin.
• Edwards, H. M. (2001). Riemann’s Zeta Function. Dover. （有黎曼 1859 论文的英文全译本）
• Bombieri, E. (2000). Problems of the Millennium: the Riemann Hypothesis. Clay Mathematics Institute.
• MacTutor History of Mathematics Archive. Bernhard Riemann (1826–1866).
• Clay Mathematics Institute. Riemann’s 1859 Manuscript（含两份手稿扫描与注释）.
• Platt, D. J., & Trudgian, T. (2021). The Riemann hypothesis is true up to \(3\cdot 10^{12}\). Bull. London Math. Soc., 53(3), 792–797.
• Guth, L., & Maynard, J. (2024). New large value estimates for Dirichlet polynomials. arXiv:2405.20552.
• Radziwiłł, M. et al. The Riemann Hypothesis: Past, Present and a Letter Through Time. arXiv:2602.04022.