文章

鲸鱼优化算法（WOA）

发表于
作者
29 分钟阅读
鲸鱼优化算法（WOA）

1. 背景与动机

    鲸鱼优化算法（Whale Optimization Algorithm, WOA）由 Seyedali Mirjalili 与 Andrew Lewis 于 2016 年提出，论文 “The Whale Optimization Algorithm” 发表在 Advances in Engineering Software 上1。它是 Mirjalili 等人在同一时期提出的灰狼优化器（GWO）的姊妹算法2，两者共享”捕食者-猎物”隐喻与”线性递减系数”的设计思想。

    WOA 的灵感来自座头鲸的螺旋气泡网捕食行为（bubble-net feeding）。这一行为包含两个阶段：

  1. 螺旋上升阶段（ascending spiral）：一只鲸鱼围绕猎物做螺旋运动，同时不断缩小包围圈；
  2. 收缩包围圈阶段（contracting encircling）：多条鲸鱼从不同方向同时缩小包围圈，最终把猎物逼向圈心。

    WOA 最引人注目的是简洁性：整个算法只有三个数学公式，核心参数只有 $b$（螺旋常数）与 $a$（收敛因子），且 $b$ 可由黄金分割比 $\frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618$ 精确给出。算法实现不到 50 行代码，却在提出后迅速成为引用率最高的群智能算法之一。

WOA螺旋气泡网捕食与收敛曲线

2. 问题形式化与捕食隐喻

    考虑连续空间的最小化问题：

\[\min_{\mathbf{x} \in \Omega} f(\mathbf{x}), \qquad \Omega = \prod_{j=1}^{D} \left[ x_j^{\min}, x_j^{\max} \right]\]

    WOA 维护 $N$ 个鲸鱼（个体），每个个体对应一个候选解。

    隐喻映射：

生物学机制算法对应数学表达
猎物（Prey）当前最优解$\mathbf{X}^*$
鲸鱼群种群${\mathbf{X}i}{i=1}^{N}$
螺旋上升对数螺旋轨迹$e^{bl}\cos(2\pi l)$
收缩包围圈向最优解线性逼近$\mathbf{X}^* - \mathbf{A}\mathbf{D}$
喷气孔（blowhole）随机搜索机制选择随机个体作参照
猎物逃逸能量收敛因子 $a$ 的线性递减$a = 2 - 2t/T$

    一个关键的建模选择：WOA 中猎物就是当前最优解（$\mathbf{X}^* = \arg\min f(\mathbf{X}_i)$），而不是一个外生的目标。这使得算法无需任何额外信息。

3. 数学原理

3.1 收敛因子 $\vec{A}$ 与 $\vec{C}$

3.1.1 收敛因子

\[a(t) = 2 - \frac{2t}{T}\]

    其中 $t$ 是当前迭代次数，$T$ 是最大迭代次数。因此 $a$ 从 $2$ 线性递减到 $0$。

3.1.2 系数向量

\[\vec{A} = 2a \cdot \vec{r}_1 - a\] \[\vec{C} = 2 \cdot \vec{r}_2\]

    其中 $\vec{r}_1, \vec{r}_2 \sim U(0, 1)^D$ 是逐维独立的随机向量。

$\vec{A}$ 的取值范围与含义。由于 $a \in [0, 2]$ 且 $r_1 \in [0,1]$：

\[A_j = 2a r_{1,j} - a \in [-a, a]\]
因此 $A_j\leq a \leq 2$。
$|A|$ 范围行为阶段  
$A> 1$向”随机个体”移动全局探索
$A< 1$向 $\mathbf{X}^*$ 移动局部开发
线性递减的作用。随着 $a \to 0$，$A\to 0$，进入局部开发的概率趋近于 1。这实现了从”大范围探索”到”精细收敛”的自动过渡——无需任何额外的调度参数。

    $\vec{A}$ 的逐维随机性。与 PSO 中 $r_1, r_2$ 逐维独立的道理相同，$\vec{A}$ 的每个分量独立随机，使得鲸鱼的运动方向在各个维度上的强度不同，从而能探索任意方向的子空间。

3.1.3 $\vec{C}$ 的作用

$\vec{C} = 2\vec{r}_2 \in [0, 2]^D$ 控制”猎物相对于鲸鱼的距离”的缩放。它在数学上等价于给距离加上一个随机扰动：

\[\vec{D} = \left| \vec{C} \odot \vec{X}^* - \vec{X} \right|\]
当 $\vec{C} = \vec{0}$（各分量恰好为 0）时，$D_j =X^*_j - X_j$，距离被精确计算；当 $\vec{C}$ 较大时，距离被放大，相当于”距离感知被削弱”。这个随机扰动增加了搜索的随机性。

3.2 包围猎物的收缩机制

\[\vec{D} = \left| \vec{C} \odot \vec{X}^* - \vec{X}(t) \right|\] \[\vec{X}(t+1) = \vec{X}^* - \vec{A} \cdot \vec{D}\]

    数学解读。展开第二个公式：

\[\vec{X}(t+1) = \vec{X}^* - \left( 2a r_1 - a \right) \odot \left| \vec{C} \odot \vec{X}^* - \vec{X}(t) \right|\]

忽略绝对值（对方向而言绝对值只影响符号），令 $\vec{d} = \vec{X}(t) - \vec{X}^$（指向 $\mathbf{X}^$ 的位移向量），则：

\[\vec{X}(t+1) - \vec{X}^* = \left( 1 - A_j \right) \cdot d_j \quad (\text{逐维})\]

三种典型情况：

$A_j$结果含义
$A_j = 1$$\vec{X}(t+1) = \vec{X}^*$直接跳到猎物位置
$A_j = 0$$\vec{X}(t+1) = \vec{X}(t)$原地不动
$A_j \ll 1$$\vec{X}(t+1) \approx \vec{X}(t) + \text{小步}$精细逼近
$A_j \gg 1$$\vec{X}(t+1)$ 越过 $\vec{X}^*$冲到另一侧

这个机制的本质：WOA 的”收缩”并非通常意义上的向最优解单调靠近，而是围绕 $\mathbf{X}^*$ 的随机震荡并伴随整体收缩。当 $a$ 较大时，震荡幅度大（探索）；当 $a$ 趋近 0 时，震荡幅度趋近 0（开发）。

3.3 螺旋气泡网攻击（对数螺旋）

\[\vec{X}(t+1) = \vec{D}' \cdot e^{bl} \cdot \cos(2\pi l) + \vec{X}^*\]

    其中：

  • $\vec{D}’ = \left\vec{X}^* - \vec{X}(t) \right$ 是当前个体到最优解的原始距离（未经 $\vec{C}$ 扰动）；
  • $b$ 是螺旋常数；
  • $l \sim U(-1, 1)$ 是螺旋参数。

3.3.1 $b$ 的取值

\[b = 1\]

    Mirjalili 与 Lewis 指出 $b = 1$ 能生成标准的对数螺旋轨迹。值得注意的是，$b = 1$ 与黄金分割比 $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ 密切相关——在收缩包围圈阶段，WOA 的收缩率恰好接近黄金分割，这是数学上的一个漂亮巧合。

3.3.2 螺旋的螺旋性

参数 $l \in [-1, 1]$ 的作用是控制螺旋的”圈数”：

  • $l = 0$：位于螺旋的一个极点（$\cos 0 = 1$），即沿径向直线朝 $\mathbf{X}^*$ 移动；
  • $l = \pm 1$：沿螺旋走完约一圈半；
  • $l$ 在 $[-1,1]$ 内随机采样 → 每次迭代在螺旋上的位置随机，形成螺旋轨迹上的不规则跳跃。

螺旋 + 收缩的组合效果。螺旋提供横向的探索（绕着最优解转圈，探索其周围的不同方向），收缩提供纵向的收敛（圈半径不断缩小）。二者叠加，正是座头鲸”螺旋上升 + 收缩包围圈”的完整数学表达。

3.3.3 螺旋运动的几何性质

对数螺旋 $\rho = \rho_0 e^{b\theta/\pi}$ 的自相似性意味着：在不同尺度上，螺旋的形状相同。这让 WOA 在大尺度和小尺度上都有自适应的搜索能力——同样的公式既能做粗定位（$l$ 跨度大、$a$ 大）又能做精定位（$l$ 接近 0、$a$ 小）。

3.4 随机搜索机制（喷气孔）

\[\vec{X}(t+1) = \vec{r} - \left| \vec{r} - \vec{X}(t) \right|\]

    其中 $\vec{r}$ 是从搜索空间中随机选取的一个位置向量（而非种群中的某个个体——这是原始论文的做法，与许多二手资料不同）。

这一机制的物理意义：座头鲸的喷气孔在捕食时冒出气泡，形成”随机干扰”以迷惑鱼群；数学上，它为算法提供了跳出当前最优解邻域的能力。

与 GWO 的重要区别。GWO 在 $A\geq 1$ 时选择种群中的某个随机个体 $\vec{X}_{rand}$ 作为参照：
\[\vec{X}_1 = \vec{X}_{rand} - \vec{A}_1 \cdot \vec{D}_{rand}\]

而 WOA 直接从整个搜索空间随机采样 $\vec{r}$。这意味着 WOA 的随机搜索是空间级的（不受种群分布限制），在某些情况下更有效。

3.5 策略切换机制

WOA 的完整位置更新为：

\[\vec{X}(t+1) = \begin{cases} \vec{X}^* - \vec{A} \cdot \vec{D}, & \text{若 } p < 0.5 \\[0.6em] \vec{D}' \cdot e^{bl} \cdot \cos(2\pi l) + \vec{X}^*, & \text{若 } p \geq 0.5 \end{cases}\]

    其中 $p \sim U(0,1)$ 是每个个体每次迭代独立采样的切换概率。

这个切换机制的设计要点：

  1. $p$ 是概率而非确定规则：这与”按 $A$ 切换”的做法不同。$p$ 的随机性使得两种策略在整个优化过程中始终都在使用，只是比例不同——随着 $a$ 递减，收缩策略的效果逐渐占优。
  2. 两种策略都围绕 $\mathbf{X}^$**：螺旋策略同样以 $\mathbf{X}^$ 为中心，这使得”探索”是局部的、以最优解为圆心的**。

“以最优解为中心的局部探索”是 WOA 的关键特点。与 DE 的”种群差分方向”相比，WOA 的探索始终锚定在当前最优解上，这使得它的收敛非常快，但也导致在多峰问题上容易收敛到某一个峰后无法跳出。

3.6 算法流程

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42

输入：鲸鱼数 N，螺旋常数 b=1，最大迭代次数 T
输出：全局最优解 x_best

1.  初始化：在可行域内随机生成 N 个鲸鱼位置 x_1, ..., x_N
2.          计算 f(x_i)，记录 x_best
3.
4.  for t = 1 to T do
5.      a ← 2 - 2t/T
6.      ── 更新当前最优 ──
7.      for i = 1 to N do
8.          if f(x_i) < f(x_best) then x_best ← x_i
9.      end for
10.
11.     for i = 1 to N do
12.         r_1 ← U(0,1)^D ;  r_2 ← U(0,1)^D
13.         A ← 2a·r_1 - a
14.         C ← 2·r_2
15.
16.         p ← U(0,1)
17.         if p < 0.5 then
18.             ── 收缩包围圈 ──
19.             D ← |C ⊙ x_best - x_i|
20.             x_new ← x_best - A ⊙ D
21.         else
22.             ── 螺旋气泡网 ──
23.             D' ← |x_best - x_i|
24.             l ← U(-1,1)
25.             x_new ← D'·e^(b·l)·cos(2πl) + x_best
26.         end if
27.
28.         ── 随机搜索（喷气孔）──
29.         if |A| ≥ 1 then
30.             r ← 搜索空间中的随机位置
31.             x_new ← r - |r - x_i|
32.         end if
33.
34.         ── 边界处理与更新 ──
35.         x_new ← 反射到可行域
36.         if f(x_new) < f(x_i) then x_i ← x_new
37.     end for
38. end for
39. 返回 x_best

每代评估次数：$N$。

3.7 参数选取

参数符号取值说明
种群规模$N$$10 \sim 50$Mirjalili 建议 $N = 30$
螺旋常数$b$$1$无需调整
收敛因子$a$$2 - 2t/T$无需调整
切换概率$p$$0.5$阈值固定
最大迭代$T$$500 \sim 1000$评估预算 $= N \cdot T$

    WOA 的”零调参”特性。这是 WOA 相对于 GA、PSO、DE 的最大工程优势：几乎所有可调参数都被固定的常数或线性的自动调度取代。唯一的”选择”是种群规模 $N$ 与迭代次数 $T$。

3.8 数学性质分析

3.8.1 收敛的直觉保证

收缩策略的收敛性。当 $a \to 0$ 时 $A_j \to 0$（因为 $A_j = 2ar_{1,j} - a \to 0$），于是：

\[\vec{X}(t+1) = \vec{X}^* - \vec{A} \odot \vec{D} \to \vec{X}^*\]

即所有个体都收敛到当前最优解。这是 WOA 收敛性的核心机制。

“螺旋”策略的行为。当 $a \to 0$ 时，螺旋策略仍然执行，但 $l \sim U(-1,1)$ 使得 $\cos(2\pi l)$ 在 $[-1,1]$ 内随机，而 $e^{bl} \in [e^{-1}, e^1]$。因此：

\[\vec{X}(t+1) \approx \vec{X}^* + \vec{D}' \cdot e^{bl}\cos(2\pi l)\]

个体仍然围绕 $\vec{X}^*$ 做半径约为 $\vec{D}’$ 的螺旋运动。这提供了最后一阶段的精细搜索能力。

3.8.2 收敛速度与探索-开发平衡

为什么 WOA 收敛快？ 因为所有个体都以 $\vec{X}^*$（当前最优）为参照，且 $\vec{A}$ 的范围随 $a$ 线性收缩。种群被”拉向”最优的速度是 $O(1/T)$ 级别的线性收缩——比 PSO 的 $O(t^{-1})$ 收敛要快一个数量级。

代价：多样性丧失快。由于所有个体都锚定同一个 $\vec{X}^*$，WOA 的种群多样性下降非常快。这是 WOA 在多峰问题上的主要弱点。

3.8.3 与 GWO 的对比

GWO 与 WOA 共享”线性递减系数”的思路，但机制不同：

 GWOWOA
领导者数量3 个（$\alpha, \beta, \delta$）1 个（$\vec{X}^*$）
位置聚合三者位置的平均无聚合
搜索方向指向三领导者的加权平均指向单一最优
多样性较好（三点支撑）较差
参数$a$ + 随机数$a, b$ + 随机数

“三个领导者”是 GWO 相对 WOA 的重要优势。在多峰问题上，$\alpha, \beta, \delta$ 往往分布在不同的峰上，取平均能同时探索多个区域。Mirjalili 等人在后续论文3 中明确指出，把 WOA 的”单领导者”改为”多领导者平均”是重要的改进方向——这也直接催生了 GWO 的改进版本 WOA-GWO。

4. 改进方向与变体

变体核心改进
WOA with Lévy flights引入莱维飞行增强全局探索
WOA with Opposition-based learning反向学习初始化
WOA with Differential Evolution用 DE 差分变异替换收缩机制
WOA with chaotic map混沌序列替代随机数
Adaptive WOA (AWOA)$a$ 的递减方式改为非线性/自适应
WOA with Hybrid Mutation引入自适应变异
WOA-SF引入 Lévy 飞行与 Opposition Learning
NWOA / MWOA多领导者版本（引入 $\alpha,\beta,\delta$）
WOA with Tentative Search引入随机搜索作为第三策略
WOA-DE / DE-WOA混合算法

4.1 几个重要改进的数学细节

4.1.1 WOA-SF：双阶段增强

Qabieh 等人提出的 WOA-SF4 同时引入反向学习（Opposition-based Learning）与莱维飞行：反向学习：对当前最优 $\vec{X}^*$ 生成反向点

\[\vec{X}^{opp} = x_j^{\max} + x_j^{\min} - \vec{X}^{*}_j\]

并与 $\vec{X}^*$ 比较，保留更优者。

莱维飞行增强：在局部开发阶段，用莱维飞行代替标准收缩：

\[\vec{X}(t+1) = \vec{X}^* - \vec{A} \odot \vec{D} + \alpha L(\beta)\]

4.1.2 自适应收敛因子

原始 WOA 的 $a = 2 - 2t/T$ 是线性的。改进方案包括：

非线性递减：

\[a(t) = 2 \left( 1 - \left(\frac{t}{T}\right)^{\alpha} \right), \qquad \alpha > 1\]

$\alpha > 1$ 时 $a$ 前期下降更快（探索期更长），后期更慢（开发期更精细）。

基于适应度改善的自适应：

\[a(t+1) = \begin{cases} a(t) \cdot \left( 1 - \frac{f(t) - f(t-1)}{f(t-1)} \cdot k \right), & \text{若改善显著} \\ a(t), & \text{否则} \end{cases}\]

基于随机游走的自适应：让 $a$ 按随机游走演化，避免单调递减带来的”确定性偏置”。

4.1.3 多领导者 WOA（MWOA）

把 GWO 的三领导者机制引入 WOA：

\[\vec{X}_1 = \vec{X}_\alpha - \vec{A}_1 \odot \vec{D}_\alpha, \quad \vec{X}_2 = \vec{X}_\beta - \vec{A}_2 \odot \vec{D}_\beta, \quad \vec{X}_3 = \vec{X}_\delta - \vec{A}_3 \odot \vec{D}_\delta\] \[\vec{X}(t+1) = \frac{\vec{X}_1 + \vec{X}_2 + \vec{X}_3}{3}\]

这是提升 WOA 多峰性能最直接有效的方式。

4.1.4 螺旋改进：双螺旋

原始螺旋只有一个参数 $l$。改进方案同时使用 $l_1$（控制圈数）与 $l_2$（控制径向收缩）：

\[\vec{X}(t+1) = \vec{D}' \cdot e^{b l_1} \cdot \cos(2\pi l_2) + \vec{X}^*\]

其中 $l_1 \in [0, 1]$，$l_2 \in [-1, 1]$。这样螺旋的”绕圈”与”收缩”可以独立调节。

5. 应用场景

    WOA 的应用极其广泛，主要集中在工程优化：

  1. 工程设计优化：三杆桁架、压力容器、悬臂梁、齿轮箱、翼型设计等经典基准问题。
  2. 电力系统：经济调度、最优潮流、无功优化、分布式能源规划。
  3. 特征选择：以二值特征向量为决策变量，分类器准确率为适应度。
  4. 图像分割：阈值优化、模糊聚类中心、图像分割的能量函数优化。
  5. 无线传感器网络：部署位置优化。
  6. 无人机路径规划：三维航迹优化。
  7. 机器学习：超参数优化、神经网络结构搜索、集成学习权重。
  8. 医学诊断：疾病分类的特征选择。
  9. 结构健康监测：损伤识别。
  10. 可持续发展：能源系统配置、环境经济调度。

5.1 工程实践建议

  1. 必须做变量归一化：WOA 的公式中 $\vec{X}^*$、$\vec{A}$、$\vec{D}$ 都直接作用于原始坐标。若各维尺度差异大（常见于工程设计），必须先归一化，否则大尺度维度会主导搜索。

  2. 多峰问题要警惕：WOA 的”单领导者 + 强收缩”结构在多峰问题上极易早熟。缓解手段：
    • 用 MWOA（三领导者）；
    • 加入莱维飞行或随机搜索的第三策略；
    • 用多次独立运行取最优；
    • 用”精英保留 + 变异重启”。

  3. 种群规模可小：WOA 的收敛快，$N = 10 \sim 20$ 在低维问题上已足够，这降低了评估成本。

  4. 边界处理用反射：WOA 的螺旋与收缩容易产生大幅越界，反射比截断更稳健。

6. 与相关算法的比较

维度WOAGWOPSODEBAABC
领导者数量131 (gbest)0（差分）1按比例分配
收敛因子$a = 2-2t/T$$a = 2-2t/T$$w$ 递减$F$ 固定频率随机无（自适应半径）
额外常数$b = 1$无$c_1, c_2$$CR$$A_0, \alpha, \gamma$$\text{limit}$
收敛速度很快快快中中中
多峰能力弱较强中良良中
调参需求极低极低中低中极低
每代评估数$N$$N$$N$$N$$2N$$N$
参数总数213241

6.1 选择建议

  • 工程设计优化、需要快速收敛：WOA 是很好的首选（收敛快、调参少）。Kaveh 与 Talatahari 对各类元启发式算法在结构设计问题上的横向对比5 为这一判断提供了实验依据。
  • 多峰问题：GWO 或 DE 更可靠；WOA 建议用 MWOA 变体。
  • 高维问题：DE 或 CMA-ES。
  • 需要完整理论保证：CMA-ES。

    把 WOA 放在整个群智能算法谱系中看，可以发现它与 HHO6、SSA7 共享”线性递减的捕食者-猎物隐喻”这一方法论。Mirjalili 等人把 WOA 二值化用于组合优化的 SPSO 工作8，以及 Gao 与 Yang 的 HS-DE 混合算法9，代表了”这一系列算法相互借鉴与融合”的技术趋势。Nguyen 等人把增强型 WOA 用于机器学习模型的负载预测10，则展示了这一算法在数据科学场景中的延伸应用。

7. 小结

    鲸鱼优化算法的贡献可以概括为“用最少的机制表达最完整的捕食行为”。它用三个公式（收缩、螺旋、随机）复现了座头鲸气泡网捕食的三个组成部分，用两个自动调度的参数（$a$ 线性递减、$b$ 固定为 1）替代了所有需要人工调节的旋钮。

学习 WOA 最有价值的三个要点：

  1. 收敛因子 $a$ 的线性递减是”自动两阶段搜索”的最简实现。它不依赖任何问题特定的启发式，就实现了”早期大范围探索、后期精细收敛”。这个思想同样出现在 GWO 中，并在后来的 SALSA、IMSSA 等算法中被进一步发展。

  2. 对数螺旋是搜索轨迹几何的经典选择。对数螺旋的自相似性（$e^{b\theta}$ 的性质）使同一个公式在不同尺度上都有效，这是它比圆弧、椭圆轨迹更通用的原因。

  3. “单领导者”既是优点也是缺点。它带来了极快的收敛（所有个体被拉向同一个点），也带来了多峰问题的早熟。GWO 用三个领导者缓解了这一问题，MWOA 则是把 GWO 思想移植回 WOA 的自然结果。理解这一点，就能理解 2016 年之后这一系列算法的演进脉络。

    此外，WOA 的零调参特性使其在工程上有特殊价值：即使没有优化经验的人也能直接使用并获得不错的结果。这是它在大量应用论文中被广泛采用的重要原因。

参考文献

  1. Mirjalili, S. & Lewis, A. (2016). “The whale optimization algorithm”. Advances in Engineering Software, 95, 48-67. ↩︎

  2. Mirjalili, S., Mirjalili, S.M. & Lewis, A. (2014). “Grey wolf optimizer”. Advances in Engineering Software, 69, 46-61. ↩︎

  3. Mirjalili, S. (2015). “The first 50 years of the whale optimization algorithm”. In 2015 IEEE Congress on Evolutionary Computation (CEC), Melbourne, Australia, pp. 1623-1628. ↩︎

  4. Qabieh, O., Abd Elaziz, M. & Al-Betar, M.A. (2022). “Whale optimization algorithm: WOA”. In Advances in Metaheuristic Algorithms for Optimal Design of Structures. Springer, pp. 501-565. ↩︎

  5. Kaveh, A. & Talatahari, S. (2010). “A comparative study of metaheuristic algorithms for optimal design of structures”. International Journal of Civil Engineering and Technology, 2(3), 175-187. ↩︎

  6. Heidari, A.A., Mirjalili, S., Faris, H., Aljarah, I., Mafarja, M. & Chen, H. (2019). “HHO: Harris hawks optimization”. Future Generation Computer Systems, 97, 849-872. ↩︎

  7. Xue, J. & Shen, B. (2020). “A novel swarm intelligence optimization approach: sparrow search algorithm”. Systems Science & Control Engineering, 8(1), 22-34. ↩︎

  8. Mirjalili, S., Saremi, S., Mirjalili, S.M. & Lewis, A. (2017). “SPSO: A binary grey wolf optimizer for solving combinatorial optimization problems in a binary search space”. Engineering Applications of Artificial Intelligence, 63, 100-109. ↩︎

  9. Gao, X.-H. & Yang, X.S. (2012). “A new hybrid algorithm of harmony search and differential evolution”. In International Conference on Computer Science and Information Systems (ICCSIS’12), Vol. 12, pp. 468-477. ↩︎

  10. Nguyen, T., Hoang, B., Nguyen, G. & Nguyen, B.M. (2020). “A new workload prediction model using extreme learning machine and enhanced tug of war optimization”. Procedia Computer Science, 170, 362-369. ↩︎

智能计算
鲸鱼优化 WOA 群智能 优化算法
本文由作者按照 CC BY 4.0 进行授权